Номер 1.189, страница 66 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.189. Лучи света, проходя вдоль прямой $x-2y+5=0$, отражаются от прямой $3x-2y+7=0$, как от зеркальной поверхности. Напишите уравнение прямой, проходящей через луч отражения.

1. Определение точки падения луча

Падающий луч задан уравнением прямой $L_1: x - 2y + 5 = 0$. Зеркальная поверхность (прямая отражения) задана уравнением $L_2: 3x - 2y + 7 = 0$. Отраженный луч исходит из точки пересечения этих двух прямых (точки падения). Чтобы найти эту точку, решим систему уравнений:

$\begin{cases} x - 2y + 5 = 0 \\ 3x - 2y + 7 = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $x$: $x = 2y - 5$. Подставим это выражение во второе уравнение:

$3(2y - 5) - 2y + 7 = 0$

Решаем полученное уравнение относительно $y$:

$6y - 15 - 2y + 7 = 0$

$4y - 8 = 0$

$y = 2$

Теперь найдем соответствующее значение $x$:

$x = 2(2) - 5 = 4 - 5 = -1$

Таким образом, точка падения луча — это точка $P(-1, 2)$.

2. Использование метода пучка прямых

Искомая прямая, содержащая отраженный луч ($L_3$), проходит через точку $P(-1, 2)$. Уравнение любой прямой, проходящей через точку пересечения $L_1$ и $L_2$, можно представить в виде уравнения пучка прямых:

$(x - 2y + 5) + \lambda(3x - 2y + 7) = 0$, где $\lambda$ — параметр.

Перегруппируем слагаемые, чтобы получить общее уравнение прямой:

$(1 + 3\lambda)x + (-2 - 2\lambda)y + (5 + 7\lambda) = 0$

Наша задача — найти значение $\lambda$, при котором эта прямая будет являться отраженным лучом.

3. Применение закона отражения

Согласно закону отражения, угол падения равен углу отражения. Это означает, что угол между падающим лучом $L_1$ и зеркалом $L_2$ равен углу между отраженным лучом $L_3$ и зеркалом $L_2$. Равенство углов означает равенство их косинусов. Косинус угла $\phi$ между двумя прямыми, заданными общими уравнениями $A_1x+B_1y+C_1=0$ и $A_2x+B_2y+C_2=0$, находится по формуле:

$\cos \phi = \frac{|A_1A_2 + B_1B_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2}\sqrt{A_2^2 + B_2^2}}$

Вычислим косинус угла между $L_1(A_1=1, B_1=-2)$ и $L_2(A_2=3, B_2=-2)$:

$\cos(L_1, L_2) = \frac{|1 \cdot 3 + (-2)(-2)|}{\sqrt{1^2+(-2)^2}\sqrt{3^2+(-2)^2}} = \frac{|3+4|}{\sqrt{5}\sqrt{13}} = \frac{7}{\sqrt{65}}$

Теперь вычислим косинус угла между $L_3(A_3=1+3\lambda, B_3=-2-2\lambda)$ и $L_2(A_2=3, B_2=-2)$:

$\cos(L_3, L_2) = \frac{|(1+3\lambda) \cdot 3 + (-2-2\lambda)(-2)|}{\sqrt{(1+3\lambda)^2+(-2-2\lambda)^2}\sqrt{3^2+(-2)^2}} = \frac{|3+9\lambda+4+4\lambda|}{\sqrt{13\lambda^2+14\lambda+5}\sqrt{13}} = \frac{|13\lambda+7|}{\sqrt{13(13\lambda^2+14\lambda+5)}}$

Приравняем квадраты косинусов, $\cos^2(L_1, L_2) = \cos^2(L_3, L_2)$:

$\frac{49}{65} = \frac{(13\lambda+7)^2}{13(13\lambda^2+14\lambda+5)}$

Сократим на 13: $\frac{49}{5} = \frac{(13\lambda+7)^2}{13\lambda^2+14\lambda+5}$.

Выполним преобразования: $49(13\lambda^2+14\lambda+5) = 5(13\lambda+7)^2$.

$637\lambda^2 + 686\lambda + 245 = 5(169\lambda^2 + 182\lambda + 49)$

$637\lambda^2 + 686\lambda + 245 = 845\lambda^2 + 910\lambda + 245$

Перенесем все члены в правую часть: $0 = (845-637)\lambda^2 + (910-686)\lambda$.

$0 = 208\lambda^2 + 224\lambda \implies 0 = \lambda(208\lambda + 224) \implies 0 = 16\lambda(13\lambda + 14)$.

Уравнение имеет два решения: $\lambda_1 = 0$ и $\lambda_2 = -\frac{14}{13}$.

Значение $\lambda = 0$ соответствует исходному падающему лучу $L_1$. Следовательно, для отраженного луча $L_3$ нужно использовать второе значение $\lambda = -\frac{14}{13}$.

4. Уравнение отраженного луча

Подставим найденное значение $\lambda = -\frac{14}{13}$ в уравнение пучка прямых:

$(x - 2y + 5) - \frac{14}{13}(3x - 2y + 7) = 0$

Чтобы избавиться от дроби, умножим все уравнение на 13:

$13(x - 2y + 5) - 14(3x - 2y + 7) = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$13x - 26y + 65 - 42x + 28y - 98 = 0$

$(13-42)x + (-26+28)y + (65-98) = 0$

$-29x + 2y - 33 = 0$

Умножим уравнение на -1, чтобы коэффициент при $x$ стал положительным:

$29x - 2y + 33 = 0$

Ответ: $29x - 2y + 33 = 0$.