Номер 1.184, страница 66 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Рис. 1.41

1.184. Груз весом 30 кг подвешен в точке С так, как показано на рис. 1.41. Угол $ACB$ равен $120^\circ$. С какой силой действует этот груз на тросы $AC$ и $BC$?

Для решения задачи воспользуемся первым законом Ньютона (условием равновесия). Поскольку груз находится в состоянии покоя, векторная сумма всех сил, действующих на точку подвеса C, равна нулю.

На точку C действуют три силы:

1. Сила тяжести груза $\vec{P}$, направленная вертикально вниз.
2. Сила натяжения троса AC, $\vec{T}_{AC}$, направленная вдоль троса от точки C к точке A.
3. Сила натяжения троса BC, $\vec{T}_{BC}$, направленная горизонтально вдоль троса от точки C к точке B.

Диаграмма сил, действующих на точку C, показана ниже:

Сначала найдем вес груза $P$. В условии указан вес 30 кг, что является разговорным выражением для массы. Примем массу $m = 30$ кг и ускорение свободного падения $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$.

$P = m \cdot g = 30 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 = 294 \text{ Н}$.

Запишем условие равновесия в векторной форме:

$\vec{P} + \vec{T}_{AC} + \vec{T}_{BC} = 0$

Для решения спроецируем это уравнение на оси координат. Ось $Ox$ направим горизонтально вправо, а ось $Oy$ — вертикально вверх. Точку C поместим в начало координат.

Трос BC горизонтален, значит угол между ним и осью $Ox$ равен 0°. Угол между тросами AC и BC равен 120°. Следовательно, угол, который трос AC составляет с отрицательным направлением оси $Ox$, равен $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Запишем уравнения равновесия в проекциях на оси:

Проекция на ось $Ox$: $T_{BC} - T_{AC} \cos(60^\circ) = 0$

Проекция на ось $Oy$: $T_{AC} \sin(60^\circ) - P = 0$

Теперь решим полученную систему уравнений.

Сила, с которой груз действует на трос AC

Из уравнения для оси $Oy$ выразим величину силы натяжения $T_{AC}$:

$T_{AC} \sin(60^\circ) = P$

$T_{AC} = \frac{P}{\sin(60^\circ)}$

Подставим значения $P=294$ Н и $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$T_{AC} = \frac{294}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{294 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{588}{\sqrt{3}} = \frac{588\sqrt{3}}{3} = 196\sqrt{3} \text{ Н}$

Вычислим приближенное значение, используя $\sqrt{3} \approx 1.732$:

$T_{AC} \approx 196 \cdot 1.732 \approx 339.472 \text{ Н}$

Ответ: Сила натяжения троса AC равна $196\sqrt{3} \text{ Н}$, что приблизительно составляет $339.5 \text{ Н}$.

Сила, с которой груз действует на трос BC

Из уравнения для оси $Ox$ выразим величину силы натяжения $T_{BC}$:

$T_{BC} = T_{AC} \cos(60^\circ)$

Подставим найденное значение $T_{AC} = 196\sqrt{3}$ Н и $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$:

$T_{BC} = 196\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 98\sqrt{3} \text{ Н}$

Вычислим приближенное значение:

$T_{BC} \approx 98 \cdot 1.732 \approx 169.736 \text{ Н}$

Ответ: Сила натяжения троса BC равна $98\sqrt{3} \text{ Н}$, что приблизительно составляет $169.7 \text{ Н}$.