Страница 65 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.174. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку $M_0(-2; 1)$ и:

1) параллельной;

2) перпендикулярной вектору $\vec{AB}$. Здесь $A(0; 1)$, $B(4; -3)$.

Для решения задачи сначала найдем координаты вектора $\vec{AB}$. Координаты вектора, заданного двумя точками $A(x_A, y_A)$ и $B(x_B, y_B)$, вычисляются по формуле: $\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A)$. Подставим в формулу координаты данных точек $A(0; 1)$ и $B(4; -3)$: $\vec{AB} = (4 - 0, -3 - 1) = (4, -4)$.

1) Требуется написать уравнение прямой, проходящей через точку $M_0(-2; 1)$ и параллельной вектору $\vec{AB}$. Если прямая параллельна вектору, то этот вектор является ее направляющим вектором. Следовательно, направляющий вектор искомой прямой $\vec{s} = \vec{AB} = (4, -4)$. Каноническое уравнение прямой, проходящей через точку $(x_0, y_0)$ с направляющим вектором $\vec{s} = (l, m)$, имеет вид: $\frac{x - x_0}{l} = \frac{y - y_0}{m}$. Подставляем координаты точки $M_0(-2; 1)$ и направляющего вектора $\vec{s} = (4, -4)$: $\frac{x - (-2)}{4} = \frac{y - 1}{-4}$ $\frac{x + 2}{4} = \frac{y - 1}{-4}$. Упростим полученное уравнение, чтобы получить общее уравнение прямой. Для этого можно умножить обе части на 4: $x + 2 = \frac{y - 1}{-1}$ $-(x + 2) = y - 1$ $-x - 2 = y - 1$ Перенесем все члены в левую часть: $-x - y - 2 + 1 = 0$ $-x - y - 1 = 0$ Умножим на -1 для более удобного вида: $x + y + 1 = 0$.
Ответ: $x + y + 1 = 0$.

2) Требуется написать уравнение прямой, проходящей через точку $M_0(-2; 1)$ и перпендикулярной вектору $\vec{AB}$. Если прямая перпендикулярна вектору, то этот вектор является ее нормальным вектором. Следовательно, нормальный вектор искомой прямой $\vec{n} = \vec{AB} = (4, -4)$. Уравнение прямой, проходящей через точку $(x_0, y_0)$ и имеющей нормальный вектор $\vec{n} = (A, B)$, имеет вид: $A(x - x_0) + B(y - y_0) = 0$. Подставляем координаты точки $M_0(-2; 1)$ и нормального вектора $\vec{n} = (4, -4)$: $4(x - (-2)) - 4(y - 1) = 0$ $4(x + 2) - 4(y - 1) = 0$. Разделим все уравнение на 4: $(x + 2) - (y - 1) = 0$ $x + 2 - y + 1 = 0$ $x - y + 3 = 0$.
Ответ: $x - y + 3 = 0$.

1.175. Какие пары прямых являются параллельными, а какие — перпендикулярными?

1) $3x-y+5=0$ и $x+3y-1=0$;

2) $3x+4y+1=0$ и $4x-3y+8=0$;

3) $6x-2y+1=0$ и $3x-y+7=0$;

4) $9x-12y+1=0$ и $8x+6y-13=0$;

5) $6x-15y+3=0$ и $10x+4y-2=0$;

6) $3x-4y+7=0$ и $6x-8y+1=0$.

Для определения взаимного расположения двух прямых, заданных общими уравнениями $A_1x + B_1y + C_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2 = 0$, используются следующие условия:

1. Условие параллельности: нормальные векторы прямых $\vec{n_1}=(A_1, B_1)$ и $\vec{n_2}=(A_2, B_2)$ коллинеарны. Это означает, что их координаты пропорциональны: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2}$. Если также $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$, то прямые совпадают.

2. Условие перпендикулярности: нормальные векторы прямых $\vec{n_1}=(A_1, B_1)$ и $\vec{n_2}=(A_2, B_2)$ ортогональны (перпендикулярны). Это означает, что их скалярное произведение равно нулю: $A_1A_2 + B_1B_2 = 0$.

Рассмотрим каждую пару прямых.

1) $3x-y+5=0$ и $x+3y-1=0$

Для первой прямой коэффициенты: $A_1 = 3, B_1 = -1$.

Для второй прямой коэффициенты: $A_2 = 1, B_2 = 3$.

Проверим условие параллельности: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{3}{1} = 3$; $\frac{B_1}{B_2} = \frac{-1}{3}$. Так как $\frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2}$, прямые не параллельны.

Проверим условие перпендикулярности: $A_1A_2 + B_1B_2 = 3 \cdot 1 + (-1) \cdot 3 = 3 - 3 = 0$. Условие выполняется, следовательно, прямые перпендикулярны.

Ответ: перпендикулярны.

2) $3x+4y+1=0$ и $4x-3y+8=0$

Для первой прямой коэффициенты: $A_1 = 3, B_1 = 4$.

Для второй прямой коэффициенты: $A_2 = 4, B_2 = -3$.

Проверим условие параллельности: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{3}{4}$; $\frac{B_1}{B_2} = \frac{4}{-3}$. Так как $\frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2}$, прямые не параллельны.

Проверим условие перпендикулярности: $A_1A_2 + B_1B_2 = 3 \cdot 4 + 4 \cdot (-3) = 12 - 12 = 0$. Условие выполняется, следовательно, прямые перпендикулярны.

Ответ: перпендикулярны.

3) $6x-2y+1=0$ и $3x-y+7=0$

Для первой прямой коэффициенты: $A_1 = 6, B_1 = -2, C_1 = 1$.

Для второй прямой коэффициенты: $A_2 = 3, B_2 = -1, C_2 = 7$.

Проверим условие параллельности: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{6}{3} = 2$; $\frac{B_1}{B_2} = \frac{-2}{-1} = 2$. Так как $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2}$, прямые параллельны. Проверим, не совпадают ли они: $\frac{C_1}{C_2} = \frac{1}{7}$. Так как $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$, прямые параллельны, но не совпадают.

Ответ: параллельны.

4) $9x-12y+1=0$ и $8x+6y-13=0$

Для первой прямой коэффициенты: $A_1 = 9, B_1 = -12$.

Для второй прямой коэффициенты: $A_2 = 8, B_2 = 6$.

Проверим условие параллельности: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{9}{8}$; $\frac{B_1}{B_2} = \frac{-12}{6} = -2$. Так как $\frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2}$, прямые не параллельны.

Проверим условие перпендикулярности: $A_1A_2 + B_1B_2 = 9 \cdot 8 + (-12) \cdot 6 = 72 - 72 = 0$. Условие выполняется, следовательно, прямые перпендикулярны.

Ответ: перпендикулярны.

5) $6x-15y+3=0$ и $10x+4y-2=0$

Упростим уравнения, разделив первое на 3, а второе на 2: $2x-5y+1=0$ и $5x+2y-1=0$.

Для первой прямой коэффициенты: $A_1 = 2, B_1 = -5$.

Для второй прямой коэффициенты: $A_2 = 5, B_2 = 2$.

Проверим условие параллельности: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{2}{5}$; $\frac{B_1}{B_2} = \frac{-5}{2}$. Так как $\frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2}$, прямые не параллельны.

Проверим условие перпендикулярности: $A_1A_2 + B_1B_2 = 2 \cdot 5 + (-5) \cdot 2 = 10 - 10 = 0$. Условие выполняется, следовательно, прямые перпендикулярны.

Ответ: перпендикулярны.

6) $3x-4y+7=0$ и $6x-8y+1=0$

Для первой прямой коэффициенты: $A_1 = 3, B_1 = -4, C_1 = 7$.

Для второй прямой коэффициенты: $A_2 = 6, B_2 = -8, C_2 = 1$.

Проверим условие параллельности: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$; $\frac{B_1}{B_2} = \frac{-4}{-8} = \frac{1}{2}$. Так как $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2}$, прямые параллельны. Проверим, не совпадают ли они: $\frac{C_1}{C_2} = \frac{7}{1} = 7$. Так как $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$, прямые параллельны, но не совпадают.

Ответ: параллельны.

1.176. При каком значении $b$ прямые $2x-y+3=0$, $x+y+3=0$ и $bx+y-13=0$ пересекаются в одной точке?

Для того чтобы три прямые пересекались в одной точке, необходимо, чтобы координаты этой точки удовлетворяли уравнениям всех трех прямых. Найдем точку пересечения первых двух прямых, так как их уравнения не содержат параметр $b$.

Составим и решим систему уравнений:

$ \begin{cases} 2x - y + 3 = 0 \\ x + y + 3 = 0 \end{cases} $

Воспользуемся методом алгебраического сложения. Сложим левые и правые части уравнений:

$ (2x - y + 3) + (x + y + 3) = 0 + 0 $

$ 3x + 6 = 0 $

$ 3x = -6 $

$ x = -2 $

Теперь подставим найденное значение $x$ в любое из уравнений системы, например, во второе, чтобы найти $y$:

$ (-2) + y + 3 = 0 $

$ y + 1 = 0 $

$ y = -1 $

Таким образом, точка пересечения первых двух прямых имеет координаты $(-2; -1)$.

Чтобы третья прямая $bx + y - 13 = 0$ также проходила через эту точку, ее координаты должны удовлетворять этому уравнению. Подставим значения $x = -2$ и $y = -1$ в уравнение третьей прямой:

$ b \cdot (-2) + (-1) - 13 = 0 $

$ -2b - 1 - 13 = 0 $

$ -2b - 14 = 0 $

$ -2b = 14 $

$ b = \frac{14}{-2} $

$ b = -7 $

Следовательно, при значении $b = -7$ все три прямые пересекаются в одной точке $(-2; -1)$.

Ответ: -7

1.177. Найдите длину перпендикуляра, опущенного из точки $M_0(4; -1)$ на прямую $12x - 5y - 27 = 0$.

Для нахождения длины перпендикуляра (расстояния) от точки $M_0(x_0; y_0)$ до прямой, заданной общим уравнением $Ax + By + C = 0$, используется следующая формула:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

В нашей задаче даны:

• Координаты точки $M_0(4; -1)$, откуда $x_0 = 4$ и $y_0 = -1$.
• Уравнение прямой $12x - 5y - 27 = 0$, откуда коэффициенты $A = 12$, $B = -5$ и $C = -27$.

Подставим эти значения в формулу:

$d = \frac{|12 \cdot 4 + (-5) \cdot (-1) - 27|}{\sqrt{12^2 + (-5)^2}}$

Сначала вычислим значение выражения в числителе (под знаком модуля):

$|12 \cdot 4 - 5 \cdot (-1) - 27| = |48 + 5 - 27| = |53 - 27| = |26| = 26$

Затем вычислим значение выражения в знаменателе:

$\sqrt{12^2 + (-5)^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$

Теперь найдем итоговое расстояние, разделив числитель на знаменатель:

$d = \frac{26}{13} = 2$

Ответ: 2

1.178. Даны уравнения прямых, проходящих через стороны треугольника. Покажите, что этот треугольник является равнобедренным:

1) $x-2y+6=0$, $x+y=0$, $2x-y-6=0$;

2) $x+y+9=0$, $4x-7y+25=0$, $7x-4y-14=0$.

1) Чтобы доказать, что треугольник, стороны которого лежат на прямых $x-2y+6=0$, $x+y=0$ и $2x-y-6=0$, является равнобедренным, мы можем сравнить углы этого треугольника. Если два угла равны, то треугольник равнобедренный. Угол между двумя сторонами треугольника равен углу между прямыми, на которых лежат эти стороны.

Обозначим прямые:

$l_1: x - 2y + 6 = 0$

$l_2: x + y = 0$

$l_3: 2x - y - 6 = 0$

Угол $\alpha$ между двумя прямыми, заданными уравнениями $A_1x+B_1y+C_1=0$ и $A_2x+B_2y+C_2=0$, можно найти, используя их нормальные векторы $\vec{n_1}=(A_1, B_1)$ и $\vec{n_2}=(A_2, B_2)$. Косинус угла между прямыми вычисляется по формуле:

$\cos \alpha = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{||\vec{n_1}|| \cdot ||\vec{n_2}||} = \frac{|A_1 A_2 + B_1 B_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2} \sqrt{A_2^2 + B_2^2}}$

Найдем нормальные векторы для наших прямых и их модули:

Для $l_1$: $\vec{n_1} = (1, -2)$, $||\vec{n_1}|| = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$.

Для $l_2$: $\vec{n_2} = (1, 1)$, $||\vec{n_2}|| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.

Для $l_3$: $\vec{n_3} = (2, -1)$, $||\vec{n_3}|| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$.

Теперь вычислим косинусы углов между парами прямых, которые являются углами треугольника.

Угол $\alpha_{12}$ между прямыми $l_1$ и $l_2$:

$\cos \alpha_{12} = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{||\vec{n_1}|| \cdot ||\vec{n_2}||} = \frac{|1 \cdot 1 + (-2) \cdot 1|}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}} = \frac{|1-2|}{\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$.

Угол $\alpha_{23}$ между прямыми $l_2$ и $l_3$:

$\cos \alpha_{23} = \frac{|\vec{n_2} \cdot \vec{n_3}|}{||\vec{n_2}|| \cdot ||\vec{n_3}||} = \frac{|1 \cdot 2 + 1 \cdot (-1)|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}} = \frac{|2-1|}{\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$.

Угол $\alpha_{13}$ между прямыми $l_1$ и $l_3$:

$\cos \alpha_{13} = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_3}|}{||\vec{n_1}|| \cdot ||\vec{n_3}||} = \frac{|1 \cdot 2 + (-2) \cdot (-1)|}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{|2+2|}{5} = \frac{4}{5}$.

Поскольку $\cos \alpha_{12} = \cos \alpha_{23}$, то углы между прямыми $(l_1, l_2)$ и $(l_2, l_3)$ равны. Это означает, что два из трех углов треугольника равны между собой.

Следовательно, треугольник является равнобедренным.

Ответ: Поскольку два угла треугольника равны (их косинусы равны $\frac{1}{\sqrt{10}}$), треугольник является равнобедренным.

2) Аналогично предыдущему пункту, докажем, что треугольник равнобедренный, сравнив его углы. Найдем косинусы углов между прямыми, на которых лежат стороны треугольника.

Даны прямые:

$l_1: x + y + 9 = 0$

$l_2: 4x - 7y + 25 = 0$

$l_3: 7x - 4y - 14 = 0$

Найдем нормальные векторы для этих прямых и их модули:

Для $l_1$: $\vec{n_1} = (1, 1)$, $||\vec{n_1}|| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Для $l_2$: $\vec{n_2} = (4, -7)$, $||\vec{n_2}|| = \sqrt{4^2 + (-7)^2} = \sqrt{16+49} = \sqrt{65}$.

Для $l_3$: $\vec{n_3} = (7, -4)$, $||\vec{n_3}|| = \sqrt{7^2 + (-4)^2} = \sqrt{49+16} = \sqrt{65}$.

Вычислим косинусы углов между парами прямых.

Угол $\alpha_{12}$ между прямыми $l_1$ и $l_2$:

$\cos \alpha_{12} = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{||\vec{n_1}|| \cdot ||\vec{n_2}||} = \frac{|1 \cdot 4 + 1 \cdot (-7)|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{65}} = \frac{|4-7|}{\sqrt{130}} = \frac{3}{\sqrt{130}}$.

Угол $\alpha_{13}$ между прямыми $l_1$ и $l_3$:

$\cos \alpha_{13} = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_3}|}{||\vec{n_1}|| \cdot ||\vec{n_3}||} = \frac{|1 \cdot 7 + 1 \cdot (-4)|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{65}} = \frac{|7-4|}{\sqrt{130}} = \frac{3}{\sqrt{130}}$.

Угол $\alpha_{23}$ между прямыми $l_2$ и $l_3$:

$\cos \alpha_{23} = \frac{|\vec{n_2} \cdot \vec{n_3}|}{||\vec{n_2}|| \cdot ||\vec{n_3}||} = \frac{|4 \cdot 7 + (-7) \cdot (-4)|}{\sqrt{65} \cdot \sqrt{65}} = \frac{|28+28|}{65} = \frac{56}{65}$.

Мы видим, что $\cos \alpha_{12} = \cos \alpha_{13}$. Это означает, что угол при вершине, образованной пересечением прямых $l_1$ и $l_2$, равен углу при вершине, образованной пересечением прямых $l_1$ и $l_3$.

Так как два угла треугольника равны, он является равнобедренным.

Ответ: Поскольку два угла треугольника равны (их косинусы равны $\frac{3}{\sqrt{130}}$), треугольник является равнобедренным.

1.179. Каков смысл выражения:

1) $\vec{AC} = \vec{BD}$;

2) $\vec{PO} = k \vec{AK}$;

3) $\vec{AK} = \lambda \vec{AC}$;

4) $\vec{AK} = 0,5 \vec{AC}$;

5) $\vec{AB} = \vec{BC}$;

6) $\vec{AB} = -\vec{AC}$;

7) $\vec{AB} + \vec{AK} + \vec{BD} = 0$;

8) $|\vec{AB} + \vec{BD}| = |\vec{AB}| + |\vec{BD}|?$

1) $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD}$
Равенство векторов означает, что они имеют одинаковую длину и одинаковое направление (сонаправлены), а также лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Геометрически это означает, что вектор $\overrightarrow{AC}$ можно получить из вектора $\overrightarrow{BD}$ путем параллельного переноса. Также это означает, что четырехугольник ABDC является параллелограммом (обратите внимание на порядок вершин).
Ответ: Векторы $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{BD}$ равны, то есть они сонаправлены и их длины равны ($|\overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{BD}|$).

2) $\overrightarrow{PO} = k \overrightarrow{AK}$
Это выражение означает, что векторы $\overrightarrow{PO}$ и $\overrightarrow{AK}$ коллинеарны, то есть лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Коэффициент $k$ — это скаляр, который показывает соотношение их длин и направлений.

• Если $k > 0$, векторы сонаправлены.
• Если $k < 0$, векторы направлены в противоположные стороны.
• Если $k = 0$, то $\overrightarrow{PO} = \vec{0}$, что означает, что точки P и O совпадают.

3) $\overrightarrow{AK} = \lambda \overrightarrow{AC}$
Это условие коллинеарности векторов $\overrightarrow{AK}$ и $\overrightarrow{AC}$. Поскольку у этих векторов общее начало в точке A, это означает, что точки A, K и C лежат на одной прямой. Положение точки K относительно A и C зависит от значения $\lambda$:

• Если $0 < \lambda < 1$, точка K лежит между точками A и C.
• Если $\lambda > 1$, точка C лежит между точками A и K.
• Если $\lambda < 0$, точка A лежит между точками K и C.
• Если $\lambda=1$, точки K и C совпадают.
• Если $\lambda=0$, точки K и A совпадают.

4) $\overrightarrow{AK} = 0,5 \overrightarrow{AC}$
Это частный случай предыдущего пункта, где $\lambda = 0,5$. Так как $0 < 0,5 < 1$, точка K лежит на отрезке AC. Равенство означает, что вектор $\overrightarrow{AK}$ сонаправлен с вектором $\overrightarrow{AC}$, а его длина в два раза меньше длины вектора $\overrightarrow{AC}$: $|\overrightarrow{AK}| = 0,5 |\overrightarrow{AC}|$.
Ответ: Точка K является серединой отрезка AC.

5) $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC}$
Векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{BC}$ равны. Это означает, что они имеют одинаковое направление и одинаковую длину. Поскольку конец первого вектора (точка B) является началом второго, для того чтобы они были сонаправлены, точки A, B и C должны лежать на одной прямой. Равенство длин $|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{BC}|$ означает, что точка B находится на одинаковом расстоянии от A и C.
Ответ: Точка B является серединой отрезка AC.

6) $\overrightarrow{AB} = - \overrightarrow{AC}$
Равенство означает, что вектор $\overrightarrow{AB}$ противоположен вектору $\overrightarrow{AC}$. Это значит, что они имеют равные длины ($|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AC}|$) и противоположные направления, но лежат на одной прямой, так как имеют общее начало в точке А.
Ответ: Точка A является серединой отрезка BC.

7) $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AK} + \overrightarrow{BD} = 0$
Это равенство означает, что сумма трех векторов равна нулевому вектору. Используя правило сложения векторов (правило треугольника или многоугольника), мы можем упростить выражение. Сгруппируем слагаемые: $(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD}) + \overrightarrow{AK} = 0$. Сумма $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD}$ по правилу треугольника равна вектору $\overrightarrow{AD}$. Таким образом, равенство принимает вид: $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AK} = 0$, откуда следует, что $\overrightarrow{AD} = - \overrightarrow{AK}$. Это означает, что векторы $\overrightarrow{AD}$ и $\overrightarrow{AK}$ имеют одинаковые длины и противоположные направления. Так как у них общее начало в точке A, точка A является серединой отрезка DK.
Ответ: Точка A является серединой отрезка, соединяющего точки D и K.

8) $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD}| = |\overrightarrow{AB}| + |\overrightarrow{BD}|$
Это выражение сравнивает модуль суммы векторов с суммой их модулей. В общем случае для векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ справедливо неравенство треугольника: $|\vec{a} + \vec{b}| \leq |\vec{a}| + |\vec{b}|$. Равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены. В данном случае $\vec{a} = \overrightarrow{AB}$ и $\vec{b} = \overrightarrow{BD}$. По правилу сложения векторов $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD}$. Таким образом, равенство можно переписать как $|\overrightarrow{AD}| = |\overrightarrow{AB}| + |\overrightarrow{BD}|$. Геометрически это означает, что длина отрезка AD равна сумме длин отрезков AB и BD. Это возможно только если точка B лежит на отрезке AD, что, в свою очередь, означает, что векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{BD}$ сонаправлены.
Ответ: Векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{BD}$ сонаправлены (имеют одинаковое направление).

1.180. Определите геометрический смысл выражения:

1) $\vec{AB} \cdot \vec{BD} = |\vec{AB}| |\vec{BD}|$

2) $\vec{AB}^2 = 0$

3) $\vec{AB} \cdot \vec{PO} = 0$

4) $\vec{AB} \cdot \vec{BD} = -|\vec{AB}| |\vec{BD}|$

5) $\vec{OA} \cdot \vec{OB} = \vec{OC} \cdot \vec{OD}$, $|\vec{OA}|=|\vec{OB}|=|\vec{OC}|=|\vec{OD}|$

1) $\vec{AB} \cdot \vec{BD} = |\vec{AB}||\vec{BD}|$

Скалярное произведение двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ определяется формулой $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$, где $\theta$ — угол между векторами. В данном случае, сравнивая выражение $\vec{AB} \cdot \vec{BD} = |\vec{AB}||\vec{BD}|$ с определением скалярного произведения, мы видим, что $\cos\theta = 1$. Это означает, что угол $\theta$ между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{BD}$ равен $0^\circ$. Нулевой угол между векторами означает, что они коллинеарны (лежат на одной прямой или на параллельных прямых) и сонаправлены (направлены в одну сторону). Поскольку векторы $\vec{AB}$ (вектор из A в B) и $\vec{BD}$ (вектор из B в D) имеют общую точку B, их коллинеарность означает, что точки A, B и D лежат на одной прямой. Так как они сонаправлены, точка B находится между точками A и D.

Ответ: Точки A, B и D лежат на одной прямой, причем точка B расположена между точками A и D.

2) $\vec{AB}^2 = 0$

Квадрат вектора (скалярный квадрат) есть скалярное произведение вектора на самого себя: $\vec{AB}^2 = \vec{AB} \cdot \vec{AB}$. По определению скалярного произведения, $\vec{AB} \cdot \vec{AB} = |\vec{AB}||\vec{AB}|\cos(0^\circ) = |\vec{AB}|^2$. Таким образом, равенство $\vec{AB}^2 = 0$ эквивалентно равенству $|\vec{AB}|^2 = 0$. Модуль (длина) вектора $|\vec{AB}|$ является неотрицательной величиной. Его квадрат равен нулю тогда и только тогда, когда сам модуль равен нулю: $|\vec{AB}| = 0$. Модуль вектора $\vec{AB}$ — это расстояние между точками A и B. Если это расстояние равно нулю, значит, точки A и B совпадают.

Ответ: Точки A и B совпадают.

3) $\vec{AB} \cdot \vec{PO} = 0$

Скалярное произведение двух векторов равно нулю, если хотя бы один из векторов является нулевым, либо если векторы перпендикулярны (ортогональны). Из формулы $\vec{AB} \cdot \vec{PO} = |\vec{AB}||\vec{PO}|\cos\theta = 0$, если предположить, что оба вектора ненулевые (т.е. точки A и B не совпадают, и точки P и O не совпадают), следует, что $\cos\theta = 0$. Это возможно, когда угол $\theta$ между векторами равен $90^\circ$. Таким образом, векторы $\vec{AB}$ и $\vec{PO}$ перпендикулярны. Геометрически это означает, что прямая, содержащая отрезок AB, перпендикулярна прямой, содержащей отрезок PO.

Ответ: Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{PO}$ перпендикулярны (или хотя бы один из них нулевой). Это означает, что прямая AB перпендикулярна прямой PO.

4) $\vec{AB} \cdot \vec{BD} = -|\vec{AB}||\vec{BD}|$

Используя определение скалярного произведения $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$, для данного выражения получаем, что $\cos\theta = -1$. Это означает, что угол $\theta$ между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{BD}$ равен $180^\circ$. Угол в $180^\circ$ между векторами означает, что они коллинеарны и противоположно направлены. Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{BD}$ имеют общую точку B, поэтому они лежат на одной прямой. Поскольку они направлены в противоположные стороны (вектор из A в B и вектор из B в D), то луч BA и луч BD должны совпадать. Это означает, что точки D, B, A лежат на одной прямой в таком порядке.

Ответ: Точки A, B и D лежат на одной прямой, причем точка B расположена между точками D и A.

5) $\vec{OA} \cdot \vec{OB} = \vec{OC} \cdot \vec{OD}$ , $|\vec{OA}|=|\vec{OB}|=|\vec{OC}|=|\vec{OD}|$

Условие $|\vec{OA}|=|\vec{OB}|=|\vec{OC}|=|\vec{OD}|$ означает, что точки A, B, C и D равноудалены от точки O. Геометрически это значит, что все четыре точки лежат на одной окружности (в двумерном случае) или сфере (в трехмерном случае) с центром в точке O. Обозначим этот радиус как $R$.
Распишем скалярные произведения, используя их определение:
$\vec{OA} \cdot \vec{OB} = |\vec{OA}||\vec{OB}|\cos(\angle AOB) = R^2\cos(\angle AOB)$
$\vec{OC} \cdot \vec{OD} = |\vec{OC}||\vec{OD}|\cos(\angle COD) = R^2\cos(\angle COD)$
Приравнивая эти выражения, получаем: $R^2\cos(\angle AOB) = R^2\cos(\angle COD)$.
Если $R \neq 0$ (т.е. точки не совпадают с центром), то можно сократить на $R^2$, и мы получим $\cos(\angle AOB) = \cos(\angle COD)$.
Поскольку угол между векторами находится в диапазоне $[0, \pi]$, равенство косинусов означает равенство самих углов: $\angle AOB = \angle COD$.
Геометрически это означает, что центральные углы, стягиваемые дугами AB и CD, равны. В одной и той же окружности равным центральным углам соответствуют равные хорды. Длина хорды AB равна $|\vec{AB}|$, а длина хорды CD равна $|\vec{CD}|$. Таким образом, из равенства углов следует равенство длин хорд: $|\vec{AB}| = |\vec{CD}|$.

Ответ: Точки A, B, C, D лежат на окружности с центром в точке O, и хорды AB и CD, соединяющие эти точки, равны по длине.

1.181. Найдите длины диагоналей параллелограмма ABCD, если $\overrightarrow{AB} = 2\vec{a} + \vec{b}$, $\overrightarrow{AD} = \vec{a} - 3\vec{b}$, $|\vec{a}|=4$, $|\vec{b}|=3$ и $(\widehat{\vec{a},\vec{b}})=60^{\circ}$.

Векторы диагоналей параллелограмма $ABCD$ выражаются через векторы его смежных сторон $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ следующим образом:

Первая диагональ: $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$

Вторая диагональ: $\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB}$

Используя данные из условия задачи:

$\vec{AB} = 2\vec{a} + \vec{b}$

$\vec{AD} = \vec{a} - 3\vec{b}$

Выразим векторы диагоналей через векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$\vec{AC} = (2\vec{a} + \vec{b}) + (\vec{a} - 3\vec{b}) = 3\vec{a} - 2\vec{b}$

$\vec{BD} = (\vec{a} - 3\vec{b}) - (2\vec{a} + \vec{b}) = \vec{a} - 3\vec{b} - 2\vec{a} - \vec{b} = -\vec{a} - 4\vec{b}$

Длина вектора равна квадратному корню из его скалярного квадрата: $|\vec{v}| = \sqrt{\vec{v}^2}$. Для вычисления скалярного квадрата нам понадобится скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Вычислим скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$, зная, что $|\vec{a}|=4$, $|\vec{b}|=3$ и угол между ними $(\widehat{\vec{a}, \vec{b}})=60^\circ$:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\widehat{\vec{a}, \vec{b}}) = 4 \cdot 3 \cdot \cos(60^\circ) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$.

Теперь мы можем найти длины диагоналей.

Нахождение длины диагонали AC

Длина диагонали $AC$ равна модулю вектора $\vec{AC}$. Найдем квадрат длины:

$|AC|^2 = |\vec{AC}|^2 = |3\vec{a} - 2\vec{b}|^2 = (3\vec{a} - 2\vec{b}) \cdot (3\vec{a} - 2\vec{b})$

Раскрывая скобки по правилам скалярного произведения, получаем:

$|AC|^2 = 9(\vec{a} \cdot \vec{a}) - 2 \cdot (3\vec{a} \cdot 2\vec{b}) + 4(\vec{b} \cdot \vec{b}) = 9|\vec{a}|^2 - 12(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4|\vec{b}|^2$

Подставляем известные значения:

$|AC|^2 = 9 \cdot 4^2 - 12 \cdot 6 + 4 \cdot 3^2 = 9 \cdot 16 - 72 + 4 \cdot 9 = 144 - 72 + 36 = 108$

Следовательно, длина диагонали $AC$ равна:

$|AC| = \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}$

Нахождение длины диагонали BD

Длина диагонали $BD$ равна модулю вектора $\vec{BD}$. Найдем квадрат длины:

$|BD|^2 = |\vec{BD}|^2 = |-\vec{a} - 4\vec{b}|^2 = (-(\vec{a} + 4\vec{b})) \cdot (-(\vec{a} + 4\vec{b})) = (\vec{a} + 4\vec{b}) \cdot (\vec{a} + 4\vec{b})$

Раскрывая скобки, получаем:

$|BD|^2 = |\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot 4\vec{b}) + |4\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 8(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 16|\vec{b}|^2$

Подставляем известные значения:

$|BD|^2 = 4^2 + 8 \cdot 6 + 16 \cdot 3^2 = 16 + 48 + 16 \cdot 9 = 64 + 144 = 208$

Следовательно, длина диагонали $BD$ равна:

$|BD| = \sqrt{208} = \sqrt{16 \cdot 13} = 4\sqrt{13}$

Ответ: длины диагоналей параллелограмма равны $6\sqrt{3}$ и $4\sqrt{13}$.

1.182. Докажите, что диагонали параллелограмма в точке их пересечения делятся пополам.

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$, в котором диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

Необходимо доказать, что точка пересечения $O$ делит диагонали пополам, то есть $AO = OC$ и $BO = OD$.

Для доказательства рассмотрим треугольники, образованные пересечением диагоналей. Возьмем треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COD$.

1. Стороны $AB$ и $CD$ равны ($AB = CD$), так как они являются противоположными сторонами параллелограмма по его свойству.

2. Угол $\angle OAB$ равен углу $\angle OCD$, так как это накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых $AB$ и $CD$ секущей $AC$.

3. Угол $\angle OBA$ равен углу $\angle ODC$, так как это накрест лежащие углы, образованные при пересечении тех же параллельных прямых $AB$ и $CD$ секущей $BD$.

Таким образом, треугольник $\triangle AOB$ равен треугольнику $\triangle COD$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Следовательно, сторона $AO$ треугольника $\triangle AOB$ равна соответствующей стороне $OC$ треугольника $\triangle COD$, а сторона $BO$ равна стороне $OD$. То есть $AO = OC$ и $BO = OD$.

Это и доказывает, что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Равенство отрезков диагоналей ($AO = OC$ и $BO = OD$) следует из равенства треугольников $\triangle AOB$ и $\triangle COD$, которое доказывается по второму признаку равенства треугольников (сторона и два прилежащих угла), используя свойства параллельных прямых и равенство противоположных сторон параллелограмма.