Номер 1.173, страница 64 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.173. Найдите угловой коэффициент прямой: 1) $-2x-3y=4$; 2) $y=-5$; 3) $x=3$; 4) проходящей через точки $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$.

a) $A(0; 2)$, $30^\circ$, $0$, $x$, $y$

б) $A(0; 3)$, $B(4; 0)$, $0$, $x$, $y$

в) $A(-2; 4)$, $120^\circ$, $0$, $x$, $y$

г) $B$, $d=4$, $60^\circ$, $A$, $0$, $x$, $y$

Рис. 1.40

1) Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент. Преобразуем данное уравнение к этому виду.

$-2x - 3y = 4$

$-3y = 2x + 4$

Разделим обе части уравнения на -3:

$y = -\frac{2}{3}x - \frac{4}{3}$

Угловой коэффициент $k$ равен коэффициенту при $x$.

Ответ: $k = -\frac{2}{3}$.

2) Уравнение $y = -5$ задает горизонтальную прямую. Его можно представить в виде $y = 0 \cdot x - 5$.

Угловой коэффициент такой прямой равен нулю.

Ответ: $k = 0$.

3) Уравнение $x = 3$ задает вертикальную прямую, параллельную оси $y$. Угол наклона такой прямой к оси $x$ составляет $90^\circ$.

Тангенс угла $90^\circ$ не определен, поэтому угловой коэффициент для вертикальной прямой не существует.

Ответ: угловой коэффициент не существует.

4) Угловой коэффициент прямой, проходящей через две точки с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$, вычисляется по формуле:

$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Эта формула справедлива при условии, что $x_1 \neq x_2$ (т.е. прямая не является вертикальной).

Ответ: $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ (при $x_1 \neq x_2$).

а)

Угловой коэффициент $k$ равен тангенсу угла наклона прямой $\alpha$ к положительному направлению оси $x$. Из рисунка видно, что $\alpha = 30^\circ$.

$k = \tan(\alpha) = \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $k = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

б)

Прямая проходит через две точки: $A(0; 3)$ и $B(4; 0)$. Воспользуемся формулой углового коэффициента для двух точек $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$:

$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{0 - 3}{4 - 0} = -\frac{3}{4}$.

Ответ: $k = -\frac{3}{4}$.

в)

Угол наклона прямой к положительному направлению оси $x$ равен $\alpha = 120^\circ$. Угловой коэффициент равен тангенсу этого угла. (Примечание: графическое изображение прямой на оригинальном рисунке некорректно, так как прямая с углом наклона $120^\circ$ должна иметь отрицательный наклон, но нарисована с положительным. Решение основано на указанном числовом значении угла).

$k = \tan(120^\circ) = \tan(180^\circ - 60^\circ) = -\tan(60^\circ) = -\sqrt{3}$.

Ответ: $k = -\sqrt{3}$.

г)

На рисунке показано, что прямая образует с положительным направлением оси $x$ острый угол $60^\circ$, но прямая является убывающей (наклонена влево). Это означает, что угол наклона $\alpha$ является тупым и смежным с углом $60^\circ$.

$\alpha = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Угловой коэффициент равен:

$k = \tan(\alpha) = \tan(120^\circ) = -\sqrt{3}$.

Ответ: $k = -\sqrt{3}$.