Номер 1.117, страница 51 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.117. Даны векторы $\vec{p}=(3; -2)$ и $\vec{q}=(-1; 0)$. Найдите координаты и модуль вектора:

1) $5\vec{p}-2\vec{q}$

2) $4\vec{p}+\vec{q}$

Даны векторы $\vec{p}=(3; -2)$ и $\vec{q}=(-1; 0)$.

1) Найдем координаты и модуль вектора $5\vec{p} - 2\vec{q}$.

Сначала вычислим координаты векторов $5\vec{p}$ и $2\vec{q}$. Умножение вектора на скаляр производится покоординатно.

$5\vec{p} = 5 \cdot (3; -2) = (5 \cdot 3; 5 \cdot (-2)) = (15; -10)$

$2\vec{q} = 2 \cdot (-1; 0) = (2 \cdot (-1); 2 \cdot 0) = (-2; 0)$

Теперь найдем разность векторов $5\vec{p}$ и $2\vec{q}$, вычитая соответствующие координаты.

$5\vec{p} - 2\vec{q} = (15; -10) - (-2; 0) = (15 - (-2); -10 - 0) = (17; -10)$

Координаты искомого вектора равны $(17; -10)$.

Далее найдем модуль (длину) полученного вектора. Модуль вектора с координатами $(x; y)$ вычисляется по формуле $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

$|5\vec{p} - 2\vec{q}| = \sqrt{17^2 + (-10)^2} = \sqrt{289 + 100} = \sqrt{389}$

Ответ: координаты $(17; -10)$, модуль $\sqrt{389}$.

2) Найдем координаты и модуль вектора $4\vec{p} + \vec{q}$.

Сначала вычислим координаты вектора $4\vec{p}$.

$4\vec{p} = 4 \cdot (3; -2) = (4 \cdot 3; 4 \cdot (-2)) = (12; -8)$

Теперь найдем сумму векторов $4\vec{p}$ и $\vec{q}$, складывая соответствующие координаты.

$4\vec{p} + \vec{q} = (12; -8) + (-1; 0) = (12 + (-1); -8 + 0) = (11; -8)$

Координаты искомого вектора равны $(11; -8)$.

Далее найдем модуль полученного вектора.

$|4\vec{p} + \vec{q}| = \sqrt{11^2 + (-8)^2} = \sqrt{121 + 64} = \sqrt{185}$

Ответ: координаты $(11; -8)$, модуль $\sqrt{185}$.