Номер 1.111, страница 50 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.111. Даны точки $A(0; 0)$, $B(1; 1)$, $C(0; 2)$ и $D(-1; 1)$. Покажите, что четырехугольник ABCD является квадратом.

Для того чтобы доказать, что четырехугольник $ABCD$ является квадратом, необходимо показать, что выполняются два условия:
1. Все его стороны равны между собой.
2. Его диагонали равны между собой.

Используем формулу для нахождения расстояния между двумя точками с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$:
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Нанесем точки на координатную плоскость для наглядности:

1. Найдем длины сторон четырехугольника $ABCD$.

Длина стороны $AB$ (между точками $A(0; 0)$ и $B(1; 1)$):
$|AB| = \sqrt{(1 - 0)^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

Длина стороны $BC$ (между точками $B(1; 1)$ и $C(0; 2)$):
$|BC| = \sqrt{(0 - 1)^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

Длина стороны $CD$ (между точками $C(0; 2)$ и $D(-1; 1)$):
$|CD| = \sqrt{(-1 - 0)^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

Длина стороны $DA$ (между точками $D(-1; 1)$ и $A(0; 0)$):
$|DA| = \sqrt{(0 - (-1))^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

Так как $|AB| = |BC| = |CD| = |DA| = \sqrt{2}$, все стороны четырехугольника равны. Это означает, что $ABCD$ является ромбом.

2. Найдем длины диагоналей четырехугольника $ABCD$.

Длина диагонали $AC$ (между точками $A(0; 0)$ и $C(0; 2)$):
$|AC| = \sqrt{(0 - 0)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{0^2 + 2^2} = \sqrt{4} = 2$.

Длина диагонали $BD$ (между точками $B(1; 1)$ и $D(-1; 1)$):
$|BD| = \sqrt{(-1 - 1)^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2$.

Так как $|AC| = |BD| = 2$, диагонали четырехугольника равны.

Вывод
Поскольку все стороны четырехугольника $ABCD$ равны и его диагонали также равны, мы можем заключить, что $ABCD$ является квадратом.

Ответ:
Длины всех сторон четырехугольника $ABCD$ равны $\sqrt{2}$, а длины обеих диагоналей равны $2$. Ромб с равными диагоналями является квадратом, следовательно, четырехугольник $ABCD$ — квадрат. Что и требовалось доказать.