Номер 1.110, страница 50 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.110 Даны точки A(-1; 3), B(2; -4), C(-3; -1) и D(5; 2).

Определите координаты векторов:

1) $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$;

2) $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CB}$;

3) $2\overrightarrow{AC} - 3\overrightarrow{BD}$;

4) $\frac{1}{3}\overrightarrow{CD} + \frac{3}{2}\overrightarrow{BA}$.

Для решения задачи нам даны координаты четырех точек: $A(-1; 3)$, $B(2; -4)$, $C(-3; -1)$ и $D(5; 2)$.

Координаты вектора, заданного двумя точками $P_1(x_1; y_1)$ и $P_2(x_2; y_2)$, вычисляются по формуле: $\vec{P_1P_2} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1)$.

1) $\vec{AB} + \vec{BC}$

Согласно правилу треугольника для сложения векторов, сумма векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ равна вектору $\vec{AC}$. Найдем координаты вектора $\vec{AC}$.

$\vec{AC} = (x_C - x_A; y_C - y_A) = (-3 - (-1); -1 - 3) = (-3 + 1; -4) = (-2; -4)$.

Ответ: $(-2; -4)$.

2) $\vec{AB} - \vec{CB}$

Вычитание вектора $\vec{CB}$ эквивалентно прибавлению противоположного ему вектора $\vec{BC}$, так как $-\vec{CB} = \vec{BC}$.

Таким образом, выражение можно переписать: $\vec{AB} - \vec{CB} = \vec{AB} + \vec{BC}$.

Это выражение совпадает с заданием из пункта 1, следовательно, результат будет таким же.

$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC} = (-2; -4)$.

Ответ: $(-2; -4)$.

3) $2\vec{AC} - 3\vec{BD}$

Сначала найдем координаты векторов $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$.

$\vec{AC} = (x_C - x_A; y_C - y_A) = (-3 - (-1); -1 - 3) = (-2; -4)$.

$\vec{BD} = (x_D - x_B; y_D - y_B) = (5 - 2; 2 - (-4)) = (3; 2 + 4) = (3; 6)$.

Теперь умножим каждый вектор на соответствующий скаляр.

$2\vec{AC} = 2 \cdot (-2; -4) = (-4; -8)$.

$3\vec{BD} = 3 \cdot (3; 6) = (9; 18)$.

Наконец, вычтем координаты второго вектора из координат первого.

$2\vec{AC} - 3\vec{BD} = (-4 - 9; -8 - 18) = (-13; -26)$.

Ответ: $(-13; -26)$.

4) $\frac{1}{3}\vec{CD} + \frac{3}{2}\vec{BA}$

Найдем координаты векторов $\vec{CD}$ и $\vec{BA}$.

$\vec{CD} = (x_D - x_C; y_D - y_C) = (5 - (-3); 2 - (-1)) = (5 + 3; 2 + 1) = (8; 3)$.

$\vec{BA} = (x_A - x_B; y_A - y_B) = (-1 - 2; 3 - (-4)) = (-3; 3 + 4) = (-3; 7)$.

Умножим векторы на скаляры.

$\frac{1}{3}\vec{CD} = \frac{1}{3} \cdot (8; 3) = (\frac{8}{3}; \frac{3}{3}) = (\frac{8}{3}; 1)$.

$\frac{3}{2}\vec{BA} = \frac{3}{2} \cdot (-3; 7) = (-\frac{9}{2}; \frac{21}{2})$.

Сложим полученные векторы.

$\frac{1}{3}\vec{CD} + \frac{3}{2}\vec{BA} = (\frac{8}{3} - \frac{9}{2}; 1 + \frac{21}{2}) = (\frac{16}{6} - \frac{27}{6}; \frac{2}{2} + \frac{21}{2}) = (-\frac{11}{6}; \frac{23}{2})$.

Ответ: $(-\frac{11}{6}; \frac{23}{2})$.