Номер 1.113, страница 50 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.113. Найдите координаты единичного вектора:

1) сонаправленного с вектором $\vec{a}=(6; 8);$

2) противоположно направленного вектору $\vec{b}=(-2; 5).$

Единичный вектор — это вектор, длина (модуль) которого равна единице. Чтобы найти единичный вектор, сонаправленный с данным вектором, нужно разделить координаты исходного вектора на его модуль. Чтобы найти единичный вектор, противоположно направленный, нужно сделать то же самое и умножить результат на -1 (то есть изменить знаки координат на противоположные).

1) сонаправленного с вектором $\vec{a}=(6; 8)$

Сначала найдем модуль (длину) вектора $\vec{a}$. Модуль вектора с координатами $(x; y)$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Для вектора $\vec{a}=(6; 8)$ его модуль равен:

$|\vec{a}| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.

Теперь, чтобы найти координаты единичного вектора $\vec{e_a}$, сонаправленного с вектором $\vec{a}$, разделим каждую координату вектора $\vec{a}$ на его модуль:

$\vec{e_a} = \left(\frac{6}{10}; \frac{8}{10}\right) = \left(\frac{3}{5}; \frac{4}{5}\right)$.

Эти координаты также можно представить в виде десятичных дробей: $(0,6; 0,8)$.

Ответ: $(\frac{3}{5}; \frac{4}{5})$.

2) противоположно направленного вектору $\vec{b}=(-2; 5)$

Сначала найдем модуль вектора $\vec{b}$:

$|\vec{b}| = \sqrt{(-2)^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29}$.

Единичный вектор, сонаправленный с $\vec{b}$, имеет координаты $\left(\frac{-2}{\sqrt{29}}; \frac{5}{\sqrt{29}}\right)$.

Чтобы найти вектор, противоположно направленный, нужно изменить знаки всех его координат на противоположные. Обозначим искомый вектор как $\vec{e_b}$.

$\vec{e_b} = -1 \cdot \left(\frac{-2}{\sqrt{29}}; \frac{5}{\sqrt{29}}\right) = \left(\frac{2}{\sqrt{29}}; -\frac{5}{\sqrt{29}}\right)$.

Иногда требуется избавиться от иррациональности в знаменателе. В этом случае ответ будет выглядеть так:

$\vec{e_b} = \left(\frac{2\sqrt{29}}{29}; -\frac{5\sqrt{29}}{29}\right)$.

Ответ: $(\frac{2}{\sqrt{29}}; -\frac{5}{\sqrt{29}})$.