Страница 41 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.71. Дан квадрат ABCD, сторона которого равна единице. Вычислите:

1) $ \vec{AB} \cdot \vec{CB} $;

2) $ \vec{AB} \cdot \vec{CD} $;

3) $ \vec{AD} \cdot \vec{BC} $;

4) $ \vec{AB} \cdot \vec{AC} $;

5) $ \vec{BD} \cdot \vec{DC} $;

6) $ \vec{AC} \cdot \vec{BD} $;

7) $ \vec{AC} \cdot \vec{CD} $;

8) $ (\vec{AB} + \vec{AD}) \cdot (\vec{CD} - \vec{CB}) $.

Дан квадрат ABCD со стороной, равной 1. Для решения задачи введем ортогональный базис, векторы которого сонаправлены сторонам квадрата, исходящим из вершины A. Пусть $\vec{i} = \vec{AB}$ и $\vec{j} = \vec{AD}$.

Поскольку ABCD - квадрат со стороной 1, то векторы $\vec{i}$ и $\vec{j}$ перпендикулярны, а их длины равны единице. Таким образом, мы имеем следующие свойства для скалярного произведения базисных векторов:

$|\vec{i}|^2 = \vec{i} \cdot \vec{i} = 1$

$|\vec{j}|^2 = \vec{j} \cdot \vec{j} = 1$

$\vec{i} \cdot \vec{j} = 0$

Визуализация квадрата:

Выразим все необходимые векторы через базис $\vec{i}$ и $\vec{j}$:

$\vec{AB} = \vec{i}$

$\vec{AD} = \vec{j}$

$\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{j}$ (противоположные стороны квадрата)

$\vec{CD} = -\vec{AB} = -\vec{i}$ (противоположные стороны квадрата, противоположное направление)

$\vec{CB} = -\vec{BC} = -\vec{j}$

$\vec{DC} = -\vec{CD} = \vec{i}$

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{i} + \vec{j}$ (диагональ по правилу параллелограмма)

$\vec{BD} = \vec{BA} + \vec{AD} = -\vec{AB} + \vec{AD} = -\vec{i} + \vec{j}$ (диагональ по правилу треугольника)

Теперь вычислим каждое скалярное произведение.

1) $\vec{AB} \cdot \vec{CB}$
Подставляем выражения через базис: $\vec{AB} = \vec{i}$ и $\vec{CB} = -\vec{j}$.
$\vec{AB} \cdot \vec{CB} = \vec{i} \cdot (-\vec{j}) = -(\vec{i} \cdot \vec{j}) = 0$, так как базисные векторы перпендикулярны.
Ответ: $0$.

2) $\vec{AB} \cdot \vec{CD}$
Подставляем выражения: $\vec{AB} = \vec{i}$ и $\vec{CD} = -\vec{i}$.
$\vec{AB} \cdot \vec{CD} = \vec{i} \cdot (-\vec{i}) = -(\vec{i} \cdot \vec{i}) = -|\vec{i}|^2 = -1$.
Ответ: $-1$.

3) $\vec{AD} \cdot \vec{BC}$
Подставляем выражения: $\vec{AD} = \vec{j}$ и $\vec{BC} = \vec{j}$.
$\vec{AD} \cdot \vec{BC} = \vec{j} \cdot \vec{j} = |\vec{j}|^2 = 1$.
Ответ: $1$.

4) $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$
Подставляем выражения: $\vec{AB} = \vec{i}$ и $\vec{AC} = \vec{i} + \vec{j}$.
$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \vec{i} \cdot (\vec{i} + \vec{j}) = \vec{i} \cdot \vec{i} + \vec{i} \cdot \vec{j} = |\vec{i}|^2 + 0 = 1$.
Ответ: $1$.

5) $\vec{BD} \cdot \vec{DC}$
Подставляем выражения: $\vec{BD} = -\vec{i} + \vec{j}$ и $\vec{DC} = \vec{i}$.
$\vec{BD} \cdot \vec{DC} = (-\vec{i} + \vec{j}) \cdot \vec{i} = -(\vec{i} \cdot \vec{i}) + (\vec{j} \cdot \vec{i}) = -|\vec{i}|^2 + 0 = -1$.
Ответ: $-1$.

6) $\vec{AC} \cdot \vec{BD}$
Подставляем выражения для диагоналей: $\vec{AC} = \vec{i} + \vec{j}$ и $\vec{BD} = -\vec{i} + \vec{j}$.
$\vec{AC} \cdot \vec{BD} = (\vec{i} + \vec{j}) \cdot (-\vec{i} + \vec{j}) = -(\vec{i} \cdot \vec{i}) + (\vec{i} \cdot \vec{j}) - (\vec{j} \cdot \vec{i}) + (\vec{j} \cdot \vec{j}) = -|\vec{i}|^2 + 0 - 0 + |\vec{j}|^2 = -1 + 1 = 0$.
Это известный факт, что диагонали квадрата перпендикулярны.
Ответ: $0$.

7) $\vec{AC} \cdot \vec{CD}$
Подставляем выражения: $\vec{AC} = \vec{i} + \vec{j}$ и $\vec{CD} = -\vec{i}$.
$\vec{AC} \cdot \vec{CD} = (\vec{i} + \vec{j}) \cdot (-\vec{i}) = -(\vec{i} \cdot \vec{i}) - (\vec{j} \cdot \vec{i}) = -|\vec{i}|^2 - 0 = -1$.
Ответ: $-1$.

8) $(\vec{AB} + \vec{AD}) \cdot (\vec{CD} - \vec{CB})$
Сначала упростим выражения в скобках.
$\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC} = \vec{i} + \vec{j}$.
$\vec{CD} - \vec{CB} = (-\vec{i}) - (-\vec{j}) = -\vec{i} + \vec{j} = \vec{BD}$.
Таким образом, искомое скалярное произведение равно $\vec{AC} \cdot \vec{BD}$.
Как мы уже вычислили в пункте 6), $\vec{AC} \cdot \vec{BD} = 0$.
Ответ: $0$.

1.72. Дан равносторонний треугольник ABC, сторона которого равна единице. Вычислите:

1) $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$;

2) $\vec{AB} \cdot \vec{BC}$;

3) $(\vec{AB} + \vec{AC}) \cdot (\vec{AB} - \vec{BC})$;

4) $(\vec{AB} + \vec{AC}) \cdot \vec{BC}$.

Дан равносторонний треугольник ABC со стороной, равной единице. Это означает, что длины векторов, совпадающих со сторонами треугольника, равны 1: $|\vec{AB}| = |\vec{BC}| = |\vec{CA}| = 1$. Все углы в равностороннем треугольнике равны $60^\circ$.

Скалярное произведение двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ определяется формулой $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\theta)$, где $\theta$ — угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$, когда они отложены от одной точки.

1) $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$

Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ исходят из одной вершины A. Угол между ними равен углу $\angle BAC$, который составляет $60^\circ$.

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(60^\circ) = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

2) $\vec{AB} \cdot \vec{BC}$

Чтобы найти угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$, нужно отложить их от одной точки. Если мы перенесём вектор $\vec{BC}$ так, чтобы его начало совпадало с точкой A, то угол между вектором $\vec{AB}$ и перенесённым вектором будет равен $120^\circ$ (внешний угол при вершине B).

$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{BC}| \cdot \cos(120^\circ) = 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2}$.

Другой способ — использовать правило разности векторов: $\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}$.

$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = \vec{AB} \cdot (\vec{AC} - \vec{AB}) = \vec{AB} \cdot \vec{AC} - \vec{AB} \cdot \vec{AB} = \vec{AB} \cdot \vec{AC} - |\vec{AB}|^2$.

Подставляя результат из пункта 1, получаем: $\frac{1}{2} - 1^2 = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2}$.

3) $(\vec{AB} + \vec{AC}) \cdot (\vec{AB} - \vec{BC})$

Для вычисления этого выражения раскроем скобки, используя дистрибутивность скалярного произведения:

$(\vec{AB} + \vec{AC}) \cdot (\vec{AB} - \vec{BC}) = \vec{AB} \cdot \vec{AB} - \vec{AB} \cdot \vec{BC} + \vec{AC} \cdot \vec{AB} - \vec{AC} \cdot \vec{BC}$.

Нам известны значения: $\vec{AB} \cdot \vec{AB} = |\vec{AB}|^2 = 1^2 = 1$; $\vec{AB} \cdot \vec{BC} = -1/2$; $\vec{AC} \cdot \vec{AB} = \vec{AB} \cdot \vec{AC} = 1/2$.

Осталось найти $\vec{AC} \cdot \vec{BC}$. Векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BC}$ оба направлены к вершине C. Угол между ними равен углу $\angle C = 60^\circ$.

$\vec{AC} \cdot \vec{BC} = |\vec{AC}| \cdot |\vec{BC}| \cdot \cos(60^\circ) = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Теперь подставим все найденные значения в исходное выражение:

$1 - (-\frac{1}{2}) + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

Ответ: $\frac{3}{2}$.

4) $(\vec{AB} + \vec{AC}) \cdot \vec{BC}$

Раскроем скобки: $(\vec{AB} + \vec{AC}) \cdot \vec{BC} = \vec{AB} \cdot \vec{BC} + \vec{AC} \cdot \vec{BC}$.

Используем значения, вычисленные в предыдущих пунктах:

$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = -\frac{1}{2}$ (из пункта 2).

$\vec{AC} \cdot \vec{BC} = \frac{1}{2}$ (из пункта 3).

Суммируя эти значения, получаем: $-\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0$.

Геометрически, сумма векторов $\vec{AB} + \vec{AC}$ представляет собой вектор-диагональ параллелограмма (в данном случае ромба), построенного на этих векторах. Эта диагональ лежит на биссектрисе угла $\angle BAC$. В равностороннем треугольнике биссектриса является также и высотой, то есть она перпендикулярна стороне BC. Скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю.

Ответ: $0$.

1.73. Заполните таблицу:

Для заполнения таблицы воспользуемся определением скалярного произведения векторов: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\widehat{\vec{a}, \vec{b}})$, где $(\widehat{\vec{a}, \vec{b}})$ — угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Из этой формулы можно выразить любую из величин, зная остальные.

Расчет для первого столбца
Дано: $|\vec{a}| = \sqrt{3}$, $|\vec{b}| = 4$, $(\widehat{\vec{a}, \vec{b}}) = 30^{\circ}$.
Требуется найти скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$.
Подставляем данные в формулу: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\widehat{\vec{a}, \vec{b}}) = \sqrt{3} \cdot 4 \cdot \cos(30^{\circ})$.
Так как $\cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем: $\vec{a} \cdot \vec{b} = \sqrt{3} \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$.
Ответ: 6.

Расчет для второго столбца
Дано: $|\vec{a}| = 8$, $|\vec{b}| = 5$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = 20$.
Требуется найти угол $(\widehat{\vec{a}, \vec{b}})$.
Из формулы скалярного произведения выражаем косинус угла: $\cos(\widehat{\vec{a}, \vec{b}}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$.
Подставляем значения: $\cos(\widehat{\vec{a}, \vec{b}}) = \frac{20}{8 \cdot 5} = \frac{20}{40} = \frac{1}{2}$.
Угол в диапазоне от $0^{\circ}$ до $180^{\circ}$, косинус которого равен $\frac{1}{2}$, это $60^{\circ}$.
Ответ: $60^{\circ}$.

Расчет для третьего столбца
Дано: $|\vec{a}| = 7$, $(\widehat{\vec{a}, \vec{b}}) = 45^{\circ}$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = 7$.
Требуется найти модуль вектора $|\vec{b}|$.
Из формулы скалярного произведения выражаем $|\vec{b}|$: $|\vec{b}| = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cos(\widehat{\vec{a}, \vec{b}})}$.
Подставляем значения: $|\vec{b}| = \frac{7}{7 \cdot \cos(45^{\circ})} = \frac{1}{\cos(45^{\circ})}$.
Так как $\cos(45^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем: $|\vec{b}| = \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.
Ответ: $\sqrt{2}$.

Расчет для четвертого столбца
Дано: $|\vec{a}| = 0,01$, $|\vec{b}| = 9,01$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.
Требуется найти угол $(\widehat{\vec{a}, \vec{b}})$.
Находим косинус угла: $\cos(\widehat{\vec{a}, \vec{b}}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{0}{0,01 \cdot 9,01} = 0$.
Так как модули векторов не равны нулю, их скалярное произведение равно нулю только если векторы перпендикулярны. Угол, косинус которого равен 0, это $90^{\circ}$.
Ответ: $90^{\circ}$.

Расчет для пятого столбца
Дано: $|\vec{b}| = 2$, $(\widehat{\vec{a}, \vec{b}}) = 120^{\circ}$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = -3$.
Требуется найти модуль вектора $|\vec{a}|$.
Из формулы скалярного произведения выражаем $|\vec{a}|$: $|\vec{a}| = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}| \cos(\widehat{\vec{a}, \vec{b}})}$.
Так как $\cos(120^{\circ}) = -\frac{1}{2}$, подставляем значения: $|\vec{a}| = \frac{-3}{2 \cdot (-\frac{1}{2})} = \frac{-3}{-1} = 3$.
Ответ: 3.

Расчет для шестого столбца
Дано: $|\vec{a}| = \sqrt{2}$, $|\vec{b}| = 6$, $(\widehat{\vec{a}, \vec{b}}) = 135^{\circ}$.
Требуется найти скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$.
Подставляем данные в формулу: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\widehat{\vec{a}, \vec{b}}) = \sqrt{2} \cdot 6 \cdot \cos(135^{\circ})$.
Так как $\cos(135^{\circ}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем: $\vec{a} \cdot \vec{b} = \sqrt{2} \cdot 6 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -6 \cdot \frac{2}{2} = -6$.
Ответ: -6.

Расчет для седьмого столбца
Дано: $|\vec{a}| = 4$, $|\vec{b}| = \sqrt{3}$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = -6$.
Требуется найти угол $(\widehat{\vec{a}, \vec{b}})$.
Находим косинус угла: $\cos(\widehat{\vec{a}, \vec{b}}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{-6}{4 \cdot \sqrt{3}} = \frac{-3}{2\sqrt{3}}$.
Упрощаем дробь: $\cos(\widehat{\vec{a}, \vec{b}}) = \frac{-3 \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{-3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Угол, косинус которого равен $-\frac{\sqrt{3}}{2}$, это $150^{\circ}$.
Ответ: $150^{\circ}$.

1.74. Преобразуйте выражения:

1) $(2\vec{a}+\vec{b})(\vec{a}-3\vec{b});$

2) $\vec{c}(\vec{a}+\vec{c})-\vec{a}(\vec{a}+\vec{c});$

3) $(\vec{a}-\vec{b})(\vec{a}-\vec{c})-(\vec{a}-\vec{b})(\vec{b}-\vec{c}).$

1) Для преобразования выражения $(2\vec{a}+\vec{b})(\vec{a}-3\vec{b})$ воспользуемся свойствами скалярного произведения векторов, в частности, дистрибутивностью. Раскроем скобки так же, как в обычной алгебре, считая произведение векторов скалярным произведением.

$(2\vec{a}+\vec{b}) \cdot (\vec{a}-3\vec{b}) = 2\vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{a} - 2\vec{a} \cdot (3\vec{b}) - \vec{b} \cdot (3\vec{b})$

Учитывая, что скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его модуля ($\vec{v} \cdot \vec{v} = |\vec{v}|^2$, что часто обозначают как $\vec{v}^2$), а также коммутативность скалярного произведения ($\vec{a}\vec{b} = \vec{b}\vec{a}$), сгруппируем подобные члены:

$2(\vec{a}\vec{a}) - 6(\vec{a}\vec{b}) + \vec{b}\vec{a} - 3(\vec{b}\vec{b}) = 2\vec{a}^2 - 6\vec{a}\vec{b} + \vec{a}\vec{b} - 3\vec{b}^2 = 2\vec{a}^2 - 5\vec{a}\vec{b} - 3\vec{b}^2$

Ответ: $2\vec{a}^2 - 5\vec{a}\vec{b} - 3\vec{b}^2$

2) Преобразуем выражение $\vec{c}(\vec{a}+\vec{c}) - \vec{a}(\vec{a}+\vec{c})$. Можно раскрыть скобки по дистрибутивному закону, а можно вынести общий множитель $(\vec{a}+\vec{c})$ за скобки. Воспользуемся вторым способом как более коротким:

$(\vec{c} - \vec{a})(\vec{a} + \vec{c})$

Это выражение напоминает формулу разности квадратов. Раскроем скобки, чтобы убедиться в этом:

$(\vec{c} - \vec{a}) \cdot (\vec{a} + \vec{c}) = \vec{c}\vec{a} + \vec{c}\vec{c} - \vec{a}\vec{a} - \vec{a}\vec{c}$

Так как скалярное произведение коммутативно ($\vec{c}\vec{a} = \vec{a}\vec{c}$), то эти два слагаемых взаимно уничтожаются:

$\vec{c}\vec{a} - \vec{a}\vec{c} = 0$

Таким образом, выражение упрощается до:

$\vec{c}\vec{c} - \vec{a}\vec{a} = \vec{c}^2 - \vec{a}^2$

Ответ: $\vec{c}^2 - \vec{a}^2$

3) В выражении $(\vec{a}-\vec{b})(\vec{a}-\vec{c}) - (\vec{a}-\vec{b})(\vec{b}-\vec{c})$ заметим общий множитель $(\vec{a}-\vec{b})$, который можно вынести за скобки:

$(\vec{a}-\vec{b}) \cdot [(\vec{a}-\vec{c}) - (\vec{b}-\vec{c})]$

Сначала упростим выражение в квадратных скобках:

$(\vec{a}-\vec{c}) - (\vec{b}-\vec{c}) = \vec{a} - \vec{c} - \vec{b} + \vec{c} = \vec{a} - \vec{b}$

Подставим полученный результат обратно в исходное выражение:

$(\vec{a}-\vec{b}) \cdot (\vec{a}-\vec{b}) = (\vec{a}-\vec{b})^2$

Это скалярный квадрат вектора $(\vec{a}-\vec{b})$. Раскроем его по формуле квадрата разности:

$(\vec{a}-\vec{b})^2 = \vec{a}^2 - 2(\vec{a}\vec{b}) + \vec{b}^2$

Ответ: $\vec{a}^2 - 2\vec{a}\vec{b} + \vec{b}^2$

1.75. Докажите тождества:

1) $(\vec{a}+\vec{b})^2+(\vec{a}-\vec{b})^2=2(\vec{a}^2+\vec{b}^2);$

2) $(\vec{a}+\vec{b})^2-(\vec{a}-\vec{b})^2=4\vec{a}\vec{b};$

3) $(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})^2=\vec{a}^2+\vec{b}^2+\vec{c}^2+2\vec{a}\cdot\vec{b}+2\vec{a}\cdot\vec{c}+2\vec{b}\cdot\vec{c}.$

1) Для доказательства преобразуем левую часть тождества, используя свойство скалярного квадрата $(\vec{x} \pm \vec{y})^2 = \vec{x}^2 \pm 2(\vec{x} \cdot \vec{y}) + \vec{y}^2$. Раскроем скобки в выражении $(\vec{a} + \vec{b})^2 + (\vec{a} - \vec{b})^2$. Получаем $(\vec{a}^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b}^2) + (\vec{a}^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b}^2)$. После приведения подобных членов ($2\vec{a} \cdot \vec{b}$ и $-2\vec{a} \cdot \vec{b}$ сокращаются) выражение упрощается до $\vec{a}^2 + \vec{a}^2 + \vec{b}^2 + \vec{b}^2 = 2\vec{a}^2 + 2\vec{b}^2$. Вынеся общий множитель 2 за скобки, получаем $2(\vec{a}^2 + \vec{b}^2)$, что и является правой частью исходного тождества. Таким образом, тождество доказано. Ответ: Тождество доказано.

2) Аналогично предыдущему пункту, преобразуем левую часть $(\vec{a} + \vec{b})^2 - (\vec{a} - \vec{b})^2$. Используем те же формулы для квадрата суммы и разности векторов: $(\vec{a}^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b}^2) - (\vec{a}^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b}^2)$. Раскрываем скобки, обращая внимание на знак минус: $\vec{a}^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b}^2 - \vec{a}^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{b}^2$. После сокращения подобных членов ($\vec{a}^2$ и $-\vec{a}^2$, $\vec{b}^2$ и $-\vec{b}^2$) остается $2\vec{a} \cdot \vec{b} + 2\vec{a} \cdot \vec{b} = 4\vec{a} \cdot \vec{b}$. Это выражение совпадает с правой частью тождества (где скалярное произведение обозначено как $4\vec{a}\vec{b}$). Тождество доказано. Ответ: Тождество доказано.

3) Докажем тождество, преобразовав его левую часть. Скалярный квадрат суммы трех векторов $(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})^2$ равен скалярному произведению этой суммы на саму себя: $(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \cdot (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$. Используя дистрибутивность скалярного произведения, "перемножаем" каждый член первой скобки на каждый член второй: $\vec{a}\cdot\vec{a} + \vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{a}\cdot\vec{c} + \vec{b}\cdot\vec{a} + \vec{b}\cdot\vec{b} + \vec{b}\cdot\vec{c} + \vec{c}\cdot\vec{a} + \vec{c}\cdot\vec{b} + \vec{c}\cdot\vec{c}$. Учитывая, что $\vec{x} \cdot \vec{x} = \vec{x}^2$, и коммутативность скалярного произведения ($\vec{x} \cdot \vec{y} = \vec{y} \cdot \vec{x}$), группируем слагаемые: $\vec{a}^2 + \vec{b}^2 + \vec{c}^2 + (\vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{b}\cdot\vec{a}) + (\vec{a}\cdot\vec{c} + \vec{c}\cdot\vec{a}) + (\vec{b}\cdot\vec{c} + \vec{c}\cdot\vec{b})$. Это приводит к выражению $\vec{a}^2 + \vec{b}^2 + \vec{c}^2 + 2\vec{a}\cdot\vec{b} + 2\vec{a}\cdot\vec{c} + 2\vec{b}\cdot\vec{c}$, которое в точности совпадает с правой частью. Тождество доказано. Ответ: Тождество доказано.

1.76. Найдите углы между векторами, если для единичных векторов $\left(\widehat{\vec{l_1}, \vec{l_2}}\right)=\alpha: $

1) $\vec{l_1}$ и $\vec{l_1} + \vec{l_2}$;

2) $\vec{l_1}$ и $\vec{l_1} - \vec{l_2}$;

3) $\vec{l_2}$ и $\vec{l_1} + \vec{l_2}$;

4) $\vec{l_2}$ и $\vec{l_1} - \vec{l_2}$;

5) $\vec{l_1} + \vec{l_2}$ и $\vec{l_1} - \vec{l_2}$.

Пусть даны два единичных вектора $\vec{l}_1$ и $\vec{l}_2$, то есть их модули (длины) равны 1: $|\vec{l}_1| = 1$ и $|\vec{l}_2| = 1$. Угол между ними равен $\alpha$.

Скалярное произведение этих векторов по определению равно: $ \vec{l}_1 \cdot \vec{l}_2 = |\vec{l}_1| \cdot |\vec{l}_2| \cdot \cos(\alpha) = 1 \cdot 1 \cdot \cos(\alpha) = \cos(\alpha) $.

Угол $\theta$ между двумя произвольными векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ находится по формуле: $ \cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} $.

Для решения задачи нам понадобятся модули векторов $\vec{l}_1 + \vec{l}_2$ и $\vec{l}_1 - \vec{l}_2$. Найдем их квадраты:

$ |\vec{l}_1 + \vec{l}_2|^2 = (\vec{l}_1 + \vec{l}_2) \cdot (\vec{l}_1 + \vec{l}_2) = \vec{l}_1 \cdot \vec{l}_1 + 2(\vec{l}_1 \cdot \vec{l}_2) + \vec{l}_2 \cdot \vec{l}_2 = |\vec{l}_1|^2 + 2\cos(\alpha) + |\vec{l}_2|^2 = 1 + 2\cos(\alpha) + 1 = 2(1 + \cos(\alpha)) $. Используя формулу двойного угла $1 + \cos(\alpha) = 2\cos^2(\frac{\alpha}{2})$, получаем: $ |\vec{l}_1 + \vec{l}_2|^2 = 2 \cdot 2\cos^2(\frac{\alpha}{2}) = 4\cos^2(\frac{\alpha}{2}) $. Следовательно, $|\vec{l}_1 + \vec{l}_2| = 2\cos(\frac{\alpha}{2})$ (так как угол $\alpha \in [0, \pi]$, то $\frac{\alpha}{2} \in [0, \frac{\pi}{2}]$ и $\cos(\frac{\alpha}{2}) \ge 0$).

$ |\vec{l}_1 - \vec{l}_2|^2 = (\vec{l}_1 - \vec{l}_2) \cdot (\vec{l}_1 - \vec{l}_2) = \vec{l}_1 \cdot \vec{l}_1 - 2(\vec{l}_1 \cdot \vec{l}_2) + \vec{l}_2 \cdot \vec{l}_2 = |\vec{l}_1|^2 - 2\cos(\alpha) + |\vec{l}_2|^2 = 1 - 2\cos(\alpha) + 1 = 2(1 - \cos(\alpha)) $. Используя формулу двойного угла $1 - \cos(\alpha) = 2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$, получаем: $ |\vec{l}_1 - \vec{l}_2|^2 = 2 \cdot 2\sin^2(\frac{\alpha}{2}) = 4\sin^2(\frac{\alpha}{2}) $. Следовательно, $|\vec{l}_1 - \vec{l}_2| = 2\sin(\frac{\alpha}{2})$ (так как $\frac{\alpha}{2} \in [0, \frac{\pi}{2}]$ и $\sin(\frac{\alpha}{2}) \ge 0$).

Геометрически векторы $\vec{l}_1$ и $\vec{l}_2$ образуют ромб, а векторы $\vec{l}_1+\vec{l}_2$ и $\vec{l}_1-\vec{l}_2$ являются его диагоналями.

1) $\vec{l}_1$ и $\vec{l}_1 + \vec{l}_2$

Найдем скалярное произведение: $ \vec{l}_1 \cdot (\vec{l}_1 + \vec{l}_2) = \vec{l}_1 \cdot \vec{l}_1 + \vec{l}_1 \cdot \vec{l}_2 = |\vec{l}_1|^2 + \cos(\alpha) = 1 + \cos(\alpha) $. Найдем косинус угла $\theta_1$: $ \cos(\theta_1) = \frac{\vec{l}_1 \cdot (\vec{l}_1 + \vec{l}_2)}{|\vec{l}_1| \cdot |\vec{l}_1 + \vec{l}_2|} = \frac{1 + \cos(\alpha)}{1 \cdot 2\cos(\frac{\alpha}{2})} = \frac{2\cos^2(\frac{\alpha}{2})}{2\cos(\frac{\alpha}{2})} = \cos(\frac{\alpha}{2}) $. Следовательно, угол $\theta_1 = \frac{\alpha}{2}$. Ответ: $ \frac{\alpha}{2} $.

2) $\vec{l}_1$ и $\vec{l}_1 - \vec{l}_2$

Найдем скалярное произведение: $ \vec{l}_1 \cdot (\vec{l}_1 - \vec{l}_2) = \vec{l}_1 \cdot \vec{l}_1 - \vec{l}_1 \cdot \vec{l}_2 = |\vec{l}_1|^2 - \cos(\alpha) = 1 - \cos(\alpha) $. Найдем косинус угла $\theta_2$: $ \cos(\theta_2) = \frac{\vec{l}_1 \cdot (\vec{l}_1 - \vec{l}_2)}{|\vec{l}_1| \cdot |\vec{l}_1 - \vec{l}_2|} = \frac{1 - \cos(\alpha)}{1 \cdot 2\sin(\frac{\alpha}{2})} = \frac{2\sin^2(\frac{\alpha}{2})}{2\sin(\frac{\alpha}{2})} = \sin(\frac{\alpha}{2}) $. Так как $\cos(\theta_2) = \sin(\frac{\alpha}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2})$, то угол $\theta_2 = \frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2}$. Ответ: $ \frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2} $.

3) $\vec{l}_2$ и $\vec{l}_1 + \vec{l}_2$

Задача симметрична пункту 1. Найдем скалярное произведение: $ \vec{l}_2 \cdot (\vec{l}_1 + \vec{l}_2) = \vec{l}_2 \cdot \vec{l}_1 + \vec{l}_2 \cdot \vec{l}_2 = \cos(\alpha) + |\vec{l}_2|^2 = \cos(\alpha) + 1 $. Найдем косинус угла $\theta_3$: $ \cos(\theta_3) = \frac{\vec{l}_2 \cdot (\vec{l}_1 + \vec{l}_2)}{|\vec{l}_2| \cdot |\vec{l}_1 + \vec{l}_2|} = \frac{1 + \cos(\alpha)}{1 \cdot 2\cos(\frac{\alpha}{2})} = \frac{2\cos^2(\frac{\alpha}{2})}{2\cos(\frac{\alpha}{2})} = \cos(\frac{\alpha}{2}) $. Следовательно, угол $\theta_3 = \frac{\alpha}{2}$. Ответ: $ \frac{\alpha}{2} $.

4) $\vec{l}_2$ и $\vec{l}_1 - \vec{l}_2$

Найдем скалярное произведение: $ \vec{l}_2 \cdot (\vec{l}_1 - \vec{l}_2) = \vec{l}_2 \cdot \vec{l}_1 - \vec{l}_2 \cdot \vec{l}_2 = \cos(\alpha) - |\vec{l}_2|^2 = \cos(\alpha) - 1 $. Найдем косинус угла $\theta_4$: $ \cos(\theta_4) = \frac{\vec{l}_2 \cdot (\vec{l}_1 - \vec{l}_2)}{|\vec{l}_2| \cdot |\vec{l}_1 - \vec{l}_2|} = \frac{\cos(\alpha) - 1}{1 \cdot 2\sin(\frac{\alpha}{2})} = \frac{-(1 - \cos(\alpha))}{2\sin(\frac{\alpha}{2})} = \frac{-2\sin^2(\frac{\alpha}{2})}{2\sin(\frac{\alpha}{2})} = -\sin(\frac{\alpha}{2}) $. Так как $\cos(\theta_4) = -\sin(\frac{\alpha}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2} + \frac{\alpha}{2})$, то угол $\theta_4 = \frac{\pi}{2} + \frac{\alpha}{2}$. Ответ: $ \frac{\pi}{2} + \frac{\alpha}{2} $.

5) $\vec{l}_1 + \vec{l}_2$ и $\vec{l}_1 - \vec{l}_2$

Найдем скалярное произведение: $ (\vec{l}_1 + \vec{l}_2) \cdot (\vec{l}_1 - \vec{l}_2) = \vec{l}_1 \cdot \vec{l}_1 - \vec{l}_1 \cdot \vec{l}_2 + \vec{l}_2 \cdot \vec{l}_1 - \vec{l}_2 \cdot \vec{l}_2 = |\vec{l}_1|^2 - |\vec{l}_2|^2 = 1^2 - 1^2 = 0 $. Поскольку скалярное произведение равно нулю, косинус угла между векторами равен нулю. Это означает, что векторы перпендикулярны. $ \cos(\theta_5) = 0 \Rightarrow \theta_5 = \frac{\pi}{2} $. Ответ: $ \frac{\pi}{2} $.