Номер 1.74, страница 41 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.74. Преобразуйте выражения:

1) $(2\vec{a}+\vec{b})(\vec{a}-3\vec{b});$

2) $\vec{c}(\vec{a}+\vec{c})-\vec{a}(\vec{a}+\vec{c});$

3) $(\vec{a}-\vec{b})(\vec{a}-\vec{c})-(\vec{a}-\vec{b})(\vec{b}-\vec{c}).$

1) Для преобразования выражения $(2\vec{a}+\vec{b})(\vec{a}-3\vec{b})$ воспользуемся свойствами скалярного произведения векторов, в частности, дистрибутивностью. Раскроем скобки так же, как в обычной алгебре, считая произведение векторов скалярным произведением.

$(2\vec{a}+\vec{b}) \cdot (\vec{a}-3\vec{b}) = 2\vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{a} - 2\vec{a} \cdot (3\vec{b}) - \vec{b} \cdot (3\vec{b})$

Учитывая, что скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его модуля ($\vec{v} \cdot \vec{v} = |\vec{v}|^2$, что часто обозначают как $\vec{v}^2$), а также коммутативность скалярного произведения ($\vec{a}\vec{b} = \vec{b}\vec{a}$), сгруппируем подобные члены:

$2(\vec{a}\vec{a}) - 6(\vec{a}\vec{b}) + \vec{b}\vec{a} - 3(\vec{b}\vec{b}) = 2\vec{a}^2 - 6\vec{a}\vec{b} + \vec{a}\vec{b} - 3\vec{b}^2 = 2\vec{a}^2 - 5\vec{a}\vec{b} - 3\vec{b}^2$

Ответ: $2\vec{a}^2 - 5\vec{a}\vec{b} - 3\vec{b}^2$

2) Преобразуем выражение $\vec{c}(\vec{a}+\vec{c}) - \vec{a}(\vec{a}+\vec{c})$. Можно раскрыть скобки по дистрибутивному закону, а можно вынести общий множитель $(\vec{a}+\vec{c})$ за скобки. Воспользуемся вторым способом как более коротким:

$(\vec{c} - \vec{a})(\vec{a} + \vec{c})$

Это выражение напоминает формулу разности квадратов. Раскроем скобки, чтобы убедиться в этом:

$(\vec{c} - \vec{a}) \cdot (\vec{a} + \vec{c}) = \vec{c}\vec{a} + \vec{c}\vec{c} - \vec{a}\vec{a} - \vec{a}\vec{c}$

Так как скалярное произведение коммутативно ($\vec{c}\vec{a} = \vec{a}\vec{c}$), то эти два слагаемых взаимно уничтожаются:

$\vec{c}\vec{a} - \vec{a}\vec{c} = 0$

Таким образом, выражение упрощается до:

$\vec{c}\vec{c} - \vec{a}\vec{a} = \vec{c}^2 - \vec{a}^2$

Ответ: $\vec{c}^2 - \vec{a}^2$

3) В выражении $(\vec{a}-\vec{b})(\vec{a}-\vec{c}) - (\vec{a}-\vec{b})(\vec{b}-\vec{c})$ заметим общий множитель $(\vec{a}-\vec{b})$, который можно вынести за скобки:

$(\vec{a}-\vec{b}) \cdot [(\vec{a}-\vec{c}) - (\vec{b}-\vec{c})]$

Сначала упростим выражение в квадратных скобках:

$(\vec{a}-\vec{c}) - (\vec{b}-\vec{c}) = \vec{a} - \vec{c} - \vec{b} + \vec{c} = \vec{a} - \vec{b}$

Подставим полученный результат обратно в исходное выражение:

$(\vec{a}-\vec{b}) \cdot (\vec{a}-\vec{b}) = (\vec{a}-\vec{b})^2$

Это скалярный квадрат вектора $(\vec{a}-\vec{b})$. Раскроем его по формуле квадрата разности:

$(\vec{a}-\vec{b})^2 = \vec{a}^2 - 2(\vec{a}\vec{b}) + \vec{b}^2$

Ответ: $\vec{a}^2 - 2\vec{a}\vec{b} + \vec{b}^2$