Номер 1.76, страница 41 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.76. Найдите углы между векторами, если для единичных векторов $\left(\widehat{\vec{l_1}, \vec{l_2}}\right)=\alpha: $

1) $\vec{l_1}$ и $\vec{l_1} + \vec{l_2}$;

2) $\vec{l_1}$ и $\vec{l_1} - \vec{l_2}$;

3) $\vec{l_2}$ и $\vec{l_1} + \vec{l_2}$;

4) $\vec{l_2}$ и $\vec{l_1} - \vec{l_2}$;

5) $\vec{l_1} + \vec{l_2}$ и $\vec{l_1} - \vec{l_2}$.

Пусть даны два единичных вектора $\vec{l}_1$ и $\vec{l}_2$, то есть их модули (длины) равны 1: $|\vec{l}_1| = 1$ и $|\vec{l}_2| = 1$. Угол между ними равен $\alpha$.

Скалярное произведение этих векторов по определению равно: $ \vec{l}_1 \cdot \vec{l}_2 = |\vec{l}_1| \cdot |\vec{l}_2| \cdot \cos(\alpha) = 1 \cdot 1 \cdot \cos(\alpha) = \cos(\alpha) $.

Угол $\theta$ между двумя произвольными векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ находится по формуле: $ \cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} $.

Для решения задачи нам понадобятся модули векторов $\vec{l}_1 + \vec{l}_2$ и $\vec{l}_1 - \vec{l}_2$. Найдем их квадраты:

$ |\vec{l}_1 + \vec{l}_2|^2 = (\vec{l}_1 + \vec{l}_2) \cdot (\vec{l}_1 + \vec{l}_2) = \vec{l}_1 \cdot \vec{l}_1 + 2(\vec{l}_1 \cdot \vec{l}_2) + \vec{l}_2 \cdot \vec{l}_2 = |\vec{l}_1|^2 + 2\cos(\alpha) + |\vec{l}_2|^2 = 1 + 2\cos(\alpha) + 1 = 2(1 + \cos(\alpha)) $. Используя формулу двойного угла $1 + \cos(\alpha) = 2\cos^2(\frac{\alpha}{2})$, получаем: $ |\vec{l}_1 + \vec{l}_2|^2 = 2 \cdot 2\cos^2(\frac{\alpha}{2}) = 4\cos^2(\frac{\alpha}{2}) $. Следовательно, $|\vec{l}_1 + \vec{l}_2| = 2\cos(\frac{\alpha}{2})$ (так как угол $\alpha \in [0, \pi]$, то $\frac{\alpha}{2} \in [0, \frac{\pi}{2}]$ и $\cos(\frac{\alpha}{2}) \ge 0$).

$ |\vec{l}_1 - \vec{l}_2|^2 = (\vec{l}_1 - \vec{l}_2) \cdot (\vec{l}_1 - \vec{l}_2) = \vec{l}_1 \cdot \vec{l}_1 - 2(\vec{l}_1 \cdot \vec{l}_2) + \vec{l}_2 \cdot \vec{l}_2 = |\vec{l}_1|^2 - 2\cos(\alpha) + |\vec{l}_2|^2 = 1 - 2\cos(\alpha) + 1 = 2(1 - \cos(\alpha)) $. Используя формулу двойного угла $1 - \cos(\alpha) = 2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$, получаем: $ |\vec{l}_1 - \vec{l}_2|^2 = 2 \cdot 2\sin^2(\frac{\alpha}{2}) = 4\sin^2(\frac{\alpha}{2}) $. Следовательно, $|\vec{l}_1 - \vec{l}_2| = 2\sin(\frac{\alpha}{2})$ (так как $\frac{\alpha}{2} \in [0, \frac{\pi}{2}]$ и $\sin(\frac{\alpha}{2}) \ge 0$).

Геометрически векторы $\vec{l}_1$ и $\vec{l}_2$ образуют ромб, а векторы $\vec{l}_1+\vec{l}_2$ и $\vec{l}_1-\vec{l}_2$ являются его диагоналями.

1) $\vec{l}_1$ и $\vec{l}_1 + \vec{l}_2$

Найдем скалярное произведение: $ \vec{l}_1 \cdot (\vec{l}_1 + \vec{l}_2) = \vec{l}_1 \cdot \vec{l}_1 + \vec{l}_1 \cdot \vec{l}_2 = |\vec{l}_1|^2 + \cos(\alpha) = 1 + \cos(\alpha) $. Найдем косинус угла $\theta_1$: $ \cos(\theta_1) = \frac{\vec{l}_1 \cdot (\vec{l}_1 + \vec{l}_2)}{|\vec{l}_1| \cdot |\vec{l}_1 + \vec{l}_2|} = \frac{1 + \cos(\alpha)}{1 \cdot 2\cos(\frac{\alpha}{2})} = \frac{2\cos^2(\frac{\alpha}{2})}{2\cos(\frac{\alpha}{2})} = \cos(\frac{\alpha}{2}) $. Следовательно, угол $\theta_1 = \frac{\alpha}{2}$. Ответ: $ \frac{\alpha}{2} $.

2) $\vec{l}_1$ и $\vec{l}_1 - \vec{l}_2$

Найдем скалярное произведение: $ \vec{l}_1 \cdot (\vec{l}_1 - \vec{l}_2) = \vec{l}_1 \cdot \vec{l}_1 - \vec{l}_1 \cdot \vec{l}_2 = |\vec{l}_1|^2 - \cos(\alpha) = 1 - \cos(\alpha) $. Найдем косинус угла $\theta_2$: $ \cos(\theta_2) = \frac{\vec{l}_1 \cdot (\vec{l}_1 - \vec{l}_2)}{|\vec{l}_1| \cdot |\vec{l}_1 - \vec{l}_2|} = \frac{1 - \cos(\alpha)}{1 \cdot 2\sin(\frac{\alpha}{2})} = \frac{2\sin^2(\frac{\alpha}{2})}{2\sin(\frac{\alpha}{2})} = \sin(\frac{\alpha}{2}) $. Так как $\cos(\theta_2) = \sin(\frac{\alpha}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2})$, то угол $\theta_2 = \frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2}$. Ответ: $ \frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2} $.

3) $\vec{l}_2$ и $\vec{l}_1 + \vec{l}_2$

Задача симметрична пункту 1. Найдем скалярное произведение: $ \vec{l}_2 \cdot (\vec{l}_1 + \vec{l}_2) = \vec{l}_2 \cdot \vec{l}_1 + \vec{l}_2 \cdot \vec{l}_2 = \cos(\alpha) + |\vec{l}_2|^2 = \cos(\alpha) + 1 $. Найдем косинус угла $\theta_3$: $ \cos(\theta_3) = \frac{\vec{l}_2 \cdot (\vec{l}_1 + \vec{l}_2)}{|\vec{l}_2| \cdot |\vec{l}_1 + \vec{l}_2|} = \frac{1 + \cos(\alpha)}{1 \cdot 2\cos(\frac{\alpha}{2})} = \frac{2\cos^2(\frac{\alpha}{2})}{2\cos(\frac{\alpha}{2})} = \cos(\frac{\alpha}{2}) $. Следовательно, угол $\theta_3 = \frac{\alpha}{2}$. Ответ: $ \frac{\alpha}{2} $.

4) $\vec{l}_2$ и $\vec{l}_1 - \vec{l}_2$

Найдем скалярное произведение: $ \vec{l}_2 \cdot (\vec{l}_1 - \vec{l}_2) = \vec{l}_2 \cdot \vec{l}_1 - \vec{l}_2 \cdot \vec{l}_2 = \cos(\alpha) - |\vec{l}_2|^2 = \cos(\alpha) - 1 $. Найдем косинус угла $\theta_4$: $ \cos(\theta_4) = \frac{\vec{l}_2 \cdot (\vec{l}_1 - \vec{l}_2)}{|\vec{l}_2| \cdot |\vec{l}_1 - \vec{l}_2|} = \frac{\cos(\alpha) - 1}{1 \cdot 2\sin(\frac{\alpha}{2})} = \frac{-(1 - \cos(\alpha))}{2\sin(\frac{\alpha}{2})} = \frac{-2\sin^2(\frac{\alpha}{2})}{2\sin(\frac{\alpha}{2})} = -\sin(\frac{\alpha}{2}) $. Так как $\cos(\theta_4) = -\sin(\frac{\alpha}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2} + \frac{\alpha}{2})$, то угол $\theta_4 = \frac{\pi}{2} + \frac{\alpha}{2}$. Ответ: $ \frac{\pi}{2} + \frac{\alpha}{2} $.

5) $\vec{l}_1 + \vec{l}_2$ и $\vec{l}_1 - \vec{l}_2$

Найдем скалярное произведение: $ (\vec{l}_1 + \vec{l}_2) \cdot (\vec{l}_1 - \vec{l}_2) = \vec{l}_1 \cdot \vec{l}_1 - \vec{l}_1 \cdot \vec{l}_2 + \vec{l}_2 \cdot \vec{l}_1 - \vec{l}_2 \cdot \vec{l}_2 = |\vec{l}_1|^2 - |\vec{l}_2|^2 = 1^2 - 1^2 = 0 $. Поскольку скалярное произведение равно нулю, косинус угла между векторами равен нулю. Это означает, что векторы перпендикулярны. $ \cos(\theta_5) = 0 \Rightarrow \theta_5 = \frac{\pi}{2} $. Ответ: $ \frac{\pi}{2} $.