Номер 1.81, страница 42 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Авторы: Шыныбеков А. Н., Шыныбеков Д. А., Жумабаев Р. Н.
Тип: Учебник
Издательство: Атамұра
Год издания: 2019 - 2025
Цвет обложки: голубой, бирюзовый с фигурами
ISBN: 978-601-331-603-1
Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 9 классе
1.4. Угол между векторами. Скалярное произведение векторов. Раздел 1. Векторы на плоскости - номер 1.81, страница 42.
№1.81 (с. 42)
Условия rus. №1.81 (с. 42)
скриншот условия

1.81. Пусть $|\vec{a}|=|\vec{b}|$ и $\vec{a} \perp \vec{b}$. Найдите угол между векторами $\vec{a}+2\vec{b}$ и $2\vec{a}+\vec{b}$.
Условия kz. №1.81 (с. 42)

Решение. №1.81 (с. 42)

Решение 2 (rus). №1.81 (с. 42)
Для нахождения угла $\alpha$ между векторами $\vec{p} = \vec{a} + 2\vec{b}$ и $\vec{q} = 2\vec{a} + \vec{b}$ воспользуемся формулой, выражающей косинус угла через скалярное произведение векторов и их модули:
$\cos \alpha = \frac{\vec{p} \cdot \vec{q}}{|\vec{p}| |\vec{q}|}$
Из условий задачи нам известно, что модули векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равны, то есть $|\vec{a}| = |\vec{b}|$. Давайте обозначим эту величину как $k$, где $k > 0$. Таким образом, $|\vec{a}| = |\vec{b}| = k$.
Также дано, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны ($\vec{a} \perp \vec{b}$). Это означает, что их скалярное произведение равно нулю: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.
Теперь вычислим скалярное произведение векторов $\vec{p}$ и $\vec{q}$:
$\vec{p} \cdot \vec{q} = (\vec{a} + 2\vec{b}) \cdot (2\vec{a} + \vec{b})$
Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения:
$\vec{p} \cdot \vec{q} = \vec{a} \cdot (2\vec{a}) + \vec{a} \cdot \vec{b} + (2\vec{b}) \cdot (2\vec{a}) + (2\vec{b}) \cdot \vec{b} = 2(\vec{a} \cdot \vec{a}) + \vec{a} \cdot \vec{b} + 4(\vec{b} \cdot \vec{a}) + 2(\vec{b} \cdot \vec{b})$
Мы знаем, что скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его модуля ($\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$), а также $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$. Тогда:
$\vec{p} \cdot \vec{q} = 2|\vec{a}|^2 + 5(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 2|\vec{b}|^2$
Подставим известные значения $|\vec{a}| = |\vec{b}| = k$ и $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$:
$\vec{p} \cdot \vec{q} = 2k^2 + 5(0) + 2k^2 = 4k^2$
Далее найдем модули векторов $\vec{p}$ и $\vec{q}$. Модуль вектора - это корень квадратный из его скалярного квадрата: $|\vec{v}| = \sqrt{\vec{v} \cdot \vec{v}}$.
Для вектора $\vec{p}$:
$|\vec{p}|^2 = (\vec{a} + 2\vec{b}) \cdot (\vec{a} + 2\vec{b}) = |\vec{a}|^2 + 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4|\vec{b}|^2 = k^2 + 4(0) + 4k^2 = 5k^2$
Следовательно, $|\vec{p}| = \sqrt{5k^2} = k\sqrt{5}$.
Для вектора $\vec{q}$:
$|\vec{q}|^2 = (2\vec{a} + \vec{b}) \cdot (2\vec{a} + \vec{b}) = 4|\vec{a}|^2 + 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 = 4k^2 + 4(0) + k^2 = 5k^2$
Следовательно, $|\vec{q}| = \sqrt{5k^2} = k\sqrt{5}$.
Наконец, подставим найденные значения скалярного произведения и модулей в формулу для косинуса угла:
$\cos \alpha = \frac{4k^2}{(k\sqrt{5})(k\sqrt{5})} = \frac{4k^2}{5k^2} = \frac{4}{5}$
Искомый угол $\alpha$ равен арккосинусу полученного значения:
$\alpha = \arccos\left(\frac{4}{5}\right)$
Ответ: $\arccos\left(\frac{4}{5}\right)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 9 класс, для упражнения номер 1.81 расположенного на странице 42 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №1.81 (с. 42), авторов: Шыныбеков (Абдухали Насырович), Шыныбеков (Данияр Абдухалиевич), Жумабаев (Ринат Нурланович), учебного пособия издательства Атамұра.