Номер 1.81, страница 42 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Раздел 1. Векторы на плоскости. 1.4. Угол между векторами. Скалярное произведение векторов - номер 1.81, страница 42.

Условия rus.

1.81. Пусть $|\vec{a}|=|\vec{b}|$ и $\vec{a} \perp \vec{b}$. Найдите угол между векторами $\vec{a}+2\vec{b}$ и $2\vec{a}+\vec{b}$.

Условия kz.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для нахождения угла $\alpha$ между векторами $\vec{p} = \vec{a} + 2\vec{b}$ и $\vec{q} = 2\vec{a} + \vec{b}$ воспользуемся формулой, выражающей косинус угла через скалярное произведение векторов и их модули:

$\cos \alpha = \frac{\vec{p} \cdot \vec{q}}{|\vec{p}| |\vec{q}|}$

Из условий задачи нам известно, что модули векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равны, то есть $|\vec{a}| = |\vec{b}|$. Давайте обозначим эту величину как $k$, где $k > 0$. Таким образом, $|\vec{a}| = |\vec{b}| = k$.

Также дано, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны ($\vec{a} \perp \vec{b}$). Это означает, что их скалярное произведение равно нулю: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.

Теперь вычислим скалярное произведение векторов $\vec{p}$ и $\vec{q}$:

$\vec{p} \cdot \vec{q} = (\vec{a} + 2\vec{b}) \cdot (2\vec{a} + \vec{b})$

Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения:

$\vec{p} \cdot \vec{q} = \vec{a} \cdot (2\vec{a}) + \vec{a} \cdot \vec{b} + (2\vec{b}) \cdot (2\vec{a}) + (2\vec{b}) \cdot \vec{b} = 2(\vec{a} \cdot \vec{a}) + \vec{a} \cdot \vec{b} + 4(\vec{b} \cdot \vec{a}) + 2(\vec{b} \cdot \vec{b})$

Мы знаем, что скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его модуля ($\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$), а также $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$. Тогда:

$\vec{p} \cdot \vec{q} = 2|\vec{a}|^2 + 5(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 2|\vec{b}|^2$

Подставим известные значения $|\vec{a}| = |\vec{b}| = k$ и $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$:

$\vec{p} \cdot \vec{q} = 2k^2 + 5(0) + 2k^2 = 4k^2$

Далее найдем модули векторов $\vec{p}$ и $\vec{q}$. Модуль вектора - это корень квадратный из его скалярного квадрата: $|\vec{v}| = \sqrt{\vec{v} \cdot \vec{v}}$.

Для вектора $\vec{p}$:

$|\vec{p}|^2 = (\vec{a} + 2\vec{b}) \cdot (\vec{a} + 2\vec{b}) = |\vec{a}|^2 + 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4|\vec{b}|^2 = k^2 + 4(0) + 4k^2 = 5k^2$

Следовательно, $|\vec{p}| = \sqrt{5k^2} = k\sqrt{5}$.

Для вектора $\vec{q}$:

$|\vec{q}|^2 = (2\vec{a} + \vec{b}) \cdot (2\vec{a} + \vec{b}) = 4|\vec{a}|^2 + 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 = 4k^2 + 4(0) + k^2 = 5k^2$

Следовательно, $|\vec{q}| = \sqrt{5k^2} = k\sqrt{5}$.

Наконец, подставим найденные значения скалярного произведения и модулей в формулу для косинуса угла:

$\cos \alpha = \frac{4k^2}{(k\sqrt{5})(k\sqrt{5})} = \frac{4k^2}{5k^2} = \frac{4}{5}$

Искомый угол $\alpha$ равен арккосинусу полученного значения:

$\alpha = \arccos\left(\frac{4}{5}\right)$

Ответ: $\arccos\left(\frac{4}{5}\right)$.