Номер 1.79, страница 42 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.79. Если $|\vec{a}|=|\vec{b}|=1$, $\vec{a} \not\parallel \vec{b}$, то векторы $\vec{a}+\vec{b}$ и $\vec{a}-\vec{b}$ перпендикулярны. Докажите.

Для того чтобы доказать, что векторы $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} - \vec{b}$ перпендикулярны, необходимо и достаточно показать, что их скалярное произведение равно нулю.

Алгебраическое доказательство:

Вычислим скалярное произведение векторов $(\vec{a} + \vec{b})$ и $(\vec{a} - \vec{b})$, используя свойства скалярного произведения (дистрибутивность и коммутативность):

$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} \cdot (\vec{a} - \vec{b}) + \vec{b} \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b}$

Поскольку скалярное произведение коммутативно, то есть $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$, слагаемые $-\vec{a} \cdot \vec{b}$ и $+\vec{b} \cdot \vec{a}$ сокращаются. Тогда выражение принимает вид:

$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b}$

Скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его модуля: $\vec{v} \cdot \vec{v} = |\vec{v}|^2$. Следовательно:

$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2$

Согласно условию задачи, модули векторов равны единице: $|\vec{a}| = 1$ и $|\vec{b}| = 1$. Подставим эти значения в полученное равенство:

$|\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2 = 1^2 - 1^2 = 1 - 1 = 0$

Так как скалярное произведение векторов $(\vec{a} + \vec{b})$ и $(\vec{a} - \vec{b})$ равно нулю, эти векторы перпендикулярны. Условие $\vec{a} \not\parallel \vec{b}$ гарантирует, что векторы суммы и разности не являются нулевыми векторами, для которых понятие перпендикулярности не определено.

Геометрическая интерпретация:

Рассмотрим векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ как стороны параллелограмма, исходящие из одной вершины. Вектор суммы $\vec{a} + \vec{b}$ и вектор разности $\vec{a} - \vec{b}$ являются диагоналями этого параллелограмма.

Поскольку по условию $|\vec{a}| = |\vec{b}|$, длины смежных сторон параллелограмма равны. Параллелограмм с равными сторонами является ромбом. А одним из ключевых свойств ромба является то, что его диагонали взаимно перпендикулярны. Следовательно, векторы $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} - \vec{b}$ перпендикулярны.

Ответ: Утверждение доказано. Векторы $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} - \vec{b}$ перпендикулярны.