Номер 1.84, страница 42 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.84. Докажите, что сумма квадратов диагоналей ромба равна квадрату стороны, умноженную на 4. Приведите векторный и не векторный способы доказательства.

Невекторный способ

Рассмотрим ромб ABCD со стороной $a$ и диагоналями $d_1 = AC$ и $d_2 = BD$.

По свойству ромба, его диагонали взаимно перпендикулярны и точкой пересечения O делятся пополам. Следовательно, мы получаем четыре равных прямоугольных треугольника.

Рассмотрим один из них, например, треугольник $\triangle AOB$. В нем:

• Гипотенуза $AB$ равна стороне ромба $a$.
• Катет $AO$ равен половине диагонали $AC$, то есть $AO = \frac{d_1}{2}$.
• Катет $BO$ равен половине диагонали $BD$, то есть $BO = \frac{d_2}{2}$.
• Угол $\angle AOB$ прямой ($90^\circ$).

Применим к треугольнику $\triangle AOB$ теорему Пифагора, согласно которой квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $AB^2 = AO^2 + BO^2$

Подставим в это уравнение длины сторон треугольника: $a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2$

Раскроем скобки: $a^2 = \frac{d_1^2}{4} + \frac{d_2^2}{4}$

Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части уравнения на 4: $4a^2 = d_1^2 + d_2^2$

Таким образом, доказано, что сумма квадратов диагоналей ромба равна квадрату его стороны, умноженному на 4.

Ответ: Доказано, что $d_1^2 + d_2^2 = 4a^2$.

Векторный способ

Пусть ромб задан векторами, выходящими из одной вершины, например, A. Обозначим вектор $\vec{AB} = \vec{x}$ и вектор $\vec{AD} = \vec{y}$.

Поскольку это ромб, длины (модули) векторов, образующих его стороны, равны. Пусть длина стороны ромба равна $a$. Тогда: $|\vec{x}| = |\vec{y}| = a$

Векторы диагоналей ромба можно выразить через векторы его сторон.

• Вектор диагонали $\vec{AC}$ является суммой векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$. Так как $\vec{BC}$ равен $\vec{AD}$, то $\vec{d_1} = \vec{AC} = \vec{x} + \vec{y}$.
• Вектор диагонали $\vec{BD}$ является разностью векторов $\vec{AD}$ и $\vec{AB}$. То есть $\vec{d_2} = \vec{BD} = \vec{y} - \vec{x}$.

Найдем сумму квадратов длин диагоналей. Квадрат длины вектора равен его скалярному квадрату ($|\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v}$). $|\vec{d_1}|^2 + |\vec{d_2}|^2 = (\vec{x} + \vec{y}) \cdot (\vec{x} + \vec{y}) + (\vec{y} - \vec{x}) \cdot (\vec{y} - \vec{x})$

Раскроем скалярные произведения: $|\vec{d_1}|^2 = \vec{x} \cdot \vec{x} + 2(\vec{x} \cdot \vec{y}) + \vec{y} \cdot \vec{y} = |\vec{x}|^2 + 2(\vec{x} \cdot \vec{y}) + |\vec{y}|^2$
$|\vec{d_2}|^2 = \vec{y} \cdot \vec{y} - 2(\vec{y} \cdot \vec{x}) + \vec{x} \cdot \vec{x} = |\vec{y}|^2 - 2(\vec{x} \cdot \vec{y}) + |\vec{x}|^2$

Сложим полученные выражения: $|\vec{d_1}|^2 + |\vec{d_2}|^2 = (|\vec{x}|^2 + 2(\vec{x} \cdot \vec{y}) + |\vec{y}|^2) + (|\vec{y}|^2 - 2(\vec{x} \cdot \vec{y}) + |\vec{x}|^2)$

Упростим, сократив $2(\vec{x} \cdot \vec{y})$ и $-2(\vec{x} \cdot \vec{y})$: $|\vec{d_1}|^2 + |\vec{d_2}|^2 = 2|\vec{x}|^2 + 2|\vec{y}|^2$

Так как $|\vec{x}| = |\vec{y}| = a$ (длина стороны ромба), подставим это значение в уравнение: $|\vec{d_1}|^2 + |\vec{d_2}|^2 = 2a^2 + 2a^2 = 4a^2$

Таким образом, мы доказали, что сумма квадратов длин диагоналей ромба равна учетверенному квадрату длины его стороны.

Ответ: Доказано, что $d_1^2 + d_2^2 = 4a^2$.