Номер 1.78, страница 42 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.78. Полагая, что $|\vec{a}|=|\vec{b}|=1, \widehat{(\vec{a},\vec{b})}=60^\circ$, найдите значения $|\vec{a}+\vec{b}|$ и угол $\widehat{(\vec{a},\vec{a}+\vec{b})}$.

Значение $|\vec{a}+\vec{b}|$

Для нахождения модуля суммы векторов воспользуемся свойством скалярного произведения: квадрат модуля вектора равен его скалярному квадрату, то есть $|\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v}$.

Для вектора суммы $\vec{a}+\vec{b}$ имеем:

$|\vec{a}+\vec{b}|^2 = (\vec{a}+\vec{b}) \cdot (\vec{a}+\vec{b})$

Раскроем скобки, используя дистрибутивность скалярного произведения:

$|\vec{a}+\vec{b}|^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$

Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ вычисляется по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\widehat{\vec{a}, \vec{b}})$.

Подставим данные из условия: $|\vec{a}|=1$, $|\vec{b}|=1$, $(\widehat{\vec{a}, \vec{b}})=60^\circ$.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 1 \cdot \cos(60^\circ) = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Теперь подставим все вычисленные и данные значения в выражение для квадрата модуля суммы:

$|\vec{a}+\vec{b}|^2 = 1^2 + 2 \cdot \frac{1}{2} + 1^2 = 1 + 1 + 1 = 3$

Отсюда находим модуль вектора суммы:

$|\vec{a}+\vec{b}| = \sqrt{3}$

Ответ: $|\vec{a}+\vec{b}| = \sqrt{3}$.

Угол $(\widehat{\vec{a}, \vec{a}+\vec{b}})$

Обозначим искомый угол через $\beta = (\widehat{\vec{a}, \vec{a}+\vec{b}})$. Для его нахождения также воспользуемся скалярным произведением, но уже для векторов $\vec{a}$ и $\vec{a}+\vec{b}$:

$\cos(\beta) = \frac{\vec{a} \cdot (\vec{a}+\vec{b})}{|\vec{a}||\vec{a}+\vec{b}|}$

Вычислим скалярное произведение в числителе:

$\vec{a} \cdot (\vec{a}+\vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 + \vec{a} \cdot \vec{b}$

Используя ранее вычисленные значения $|\vec{a}|^2=1$ и $\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}$, получаем:

$\vec{a} \cdot (\vec{a}+\vec{b}) = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

Значения модулей в знаменателе нам известны: $|\vec{a}|=1$ и $|\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{3}$ (из предыдущего пункта).

Подставляем все в формулу для косинуса угла:

$\cos(\beta) = \frac{3/2}{1 \cdot \sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}}$

Упростим полученное выражение:

$\cos(\beta) = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Угол $\beta$, косинус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$, в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$ равен $30^\circ$.

$\beta = 30^\circ$

Геометрическая интерпретация:

Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ с равными модулями и углом $60^\circ$ между ними образуют смежные стороны ромба. Вектор суммы $\vec{a}+\vec{b}$ является диагональю этого ромба. В ромбе диагональ является биссектрисой угла, из которого она исходит. Следовательно, угол между вектором $\vec{a}$ и вектором $\vec{a}+\vec{b}$ равен половине угла между $\vec{a}$ и $\vec{b}$, то есть $60^\circ / 2 = 30^\circ$.

Ответ: $(\widehat{\vec{a}, \vec{a}+\vec{b}}) = 30^\circ$.