Номер 1.82, страница 42 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.82. Дан вектор $\vec{a}$. Постройте единичный вектор $\vec{b}$ так, чтобы выполнялось равенство $\vec{a} \cdot \vec{b}=1$. Всегда ли существует такой вектор $\vec{b}$?

Построение единичного вектора $\vec{b}$

Для решения задачи воспользуемся определением скалярного произведения векторов. Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равно произведению их длин на косинус угла между ними:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\theta$

где $\theta$ — это угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

По условию задачи, нам дан вектор $\vec{a}$ и требуется построить единичный вектор $\vec{b}$, то есть вектор, длина которого равна единице ($|\vec{b}| = 1$). Также должно выполняться равенство $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$.

Подставим эти условия в формулу скалярного произведения:

$|\vec{a}| \cdot 1 \cdot \cos\theta = 1$

Из этого уравнения мы можем выразить косинус угла $\theta$ между искомым вектором $\vec{b}$ и данным вектором $\vec{a}$:

$\cos\theta = \frac{1}{|\vec{a}|}$

Это соотношение показывает, что скалярная проекция единичного вектора $\vec{b}$ на направление вектора $\vec{a}$ должна быть равна $\frac{1}{|\vec{a}|}$. На основе этого можно выполнить геометрическое построение:

1. Отложим вектор $\vec{a}$ от некоторой точки O.

2. На луче, определяемом вектором $\vec{a}$, отложим от точки O отрезок OP, длина которого равна $\frac{1}{|\vec{a}|}$. Точка P — это основание проекции вектора $\vec{b}$ на прямую, содержащую вектор $\vec{a}$.

3. Проведем через точку P прямую (в двумерном случае) или плоскость (в трехмерном случае), перпендикулярную вектору $\vec{a}$.

4. Построим окружность (в 2D) или сферу (в 3D) с центром в точке O и радиусом 1 (так как $|\vec{b}|=1$).

5. Любой вектор $\vec{b}$, проведенный из точки O в точку пересечения этой окружности/сферы и перпендикулярной прямой/плоскости, будет являться решением задачи. Если $|\vec{a}|>1$, то таких точек пересечения (и, соответственно, векторов) будет бесконечно много (они образуют окружность в 3D) или две (в 2D). Если $|\vec{a}|=1$, то будет одна точка пересечения, совпадающая с P.

Ниже представлен чертеж для двумерного случая.

Всегда ли существует такой вектор $\vec{b}$?

Рассмотрим полученное нами ранее условие: $\cos\theta = \frac{1}{|\vec{a}|}$.

Известно, что функция косинуса принимает значения в диапазоне от -1 до 1, то есть $-1 \le \cos\theta \le 1$. Следовательно, для существования угла $\theta$, а значит и вектора $\vec{b}$, необходимо, чтобы выполнялось неравенство:

$-1 \le \frac{1}{|\vec{a}|} \le 1$

Длина вектора $|\vec{a}|$ является неотрицательной величиной. Если $\vec{a} = \vec{0}$, то $|\vec{a}|=0$, и выражение $\frac{1}{|\vec{a}|}$ не определено. Кроме того, $\vec{0} \cdot \vec{b} = 0 \neq 1$. Поэтому вектор $\vec{a}$ не может быть нулевым, и его длина $|\vec{a}| > 0$.

Так как $|\vec{a}| > 0$, то и $\frac{1}{|\vec{a}|} > 0$. Поэтому двойное неравенство упрощается до одного:

$\frac{1}{|\vec{a}|} \le 1$

Умножив обе части на положительное число $|\vec{a}|$, получим равносильное неравенство:

$1 \le |\vec{a}|$ или $|\vec{a}| \ge 1$

Таким образом, мы приходим к выводу:

1. Если $|\vec{a}| \ge 1$, то $0 < \frac{1}{|\vec{a}|} \le 1$. В этом случае существует угол $\theta = \arccos\left(\frac{1}{|\vec{a}|}\right)$, и искомый вектор $\vec{b}$ существует.

2. Если $0 \le |\vec{a}| < 1$, то $\frac{1}{|\vec{a}|} > 1$. В этом случае уравнение $\cos\theta = \frac{1}{|\vec{a}|}$ не имеет решений, так как косинус не может быть больше 1. Следовательно, такой вектор $\vec{b}$ построить невозможно.

Ответ: Искомый единичный вектор $\vec{b}$ можно построить, если длина данного вектора $\vec{a}$ не меньше единицы ($|\vec{a}| \ge 1$). Построение описано выше. Если же длина вектора $\vec{a}$ меньше единицы ($|\vec{a}| < 1$), то такой вектор $\vec{b}$ не существует. Следовательно, такой вектор существует не всегда.