Номер 1.85, страница 42 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.85. Следует ли равенство $\vec{b}=\vec{c}$ из равенства $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c}$?

Обоснуйте ответ.

Нет, из равенства $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c}$ в общем случае не следует, что $\vec{b} = \vec{c}$.

Обоснование

Рассмотрим данное равенство: $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c}$.

Перенесем все члены в одну сторону:

$\vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{a} \cdot \vec{c} = 0$

Используя дистрибутивное свойство скалярного произведения, вынесем вектор $\vec{a}$ за скобки:

$\vec{a} \cdot (\vec{b} - \vec{c}) = 0$

Скалярное произведение двух векторов равно нулю, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1. Один из векторов (или оба) является нулевым вектором.
2. Векторы ортогональны (перпендикулярны) друг другу.

Применим это к нашему выражению $\vec{a} \cdot (\vec{b} - \vec{c}) = 0$. Равенство будет верным, если:

• 1. $\vec{a} = \vec{0}$. В этом случае равенство будет выполняться для любых векторов $\vec{b}$ и $\vec{c}$, которые не обязательно равны между собой.
• 2. $\vec{b} - \vec{c} = \vec{0}$, что равносильно $\vec{b} = \vec{c}$. Это тот случай, когда заключение верно, но он не является единственно возможным.
• 3. Вектор $\vec{a}$ ортогонален вектору $(\vec{b} - \vec{c})$, при условии что $\vec{a} \neq \vec{0}$ и $\vec{b} - \vec{c} \neq \vec{0}$. Последнее условие как раз означает, что $\vec{b} \neq \vec{c}$.

Поскольку существуют случаи (1 и 3), когда исходное равенство $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c}$ выполняется, но при этом $\vec{b} \neq \vec{c}$, то мы не можем однозначно утверждать, что из одного следует другое.

Приведем контрпример:

Пусть векторы заданы в декартовой системе координат:

$\vec{a} = (1, 1, 0)$

$\vec{b} = (3, 5, 2)$

$\vec{c} = (5, 3, 7)$

Очевидно, что $\vec{b} \neq \vec{c}$.

Теперь вычислим скалярные произведения:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1 \cdot 3) + (1 \cdot 5) + (0 \cdot 2) = 3 + 5 + 0 = 8$

$\vec{a} \cdot \vec{c} = (1 \cdot 5) + (1 \cdot 3) + (0 \cdot 7) = 5 + 3 + 0 = 8$

Мы видим, что $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c}$, но $\vec{b} \neq \vec{c}$.

Геометрически равенство $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c}$ означает, что проекции векторов $\vec{b}$ и $\vec{c}$ на направление вектора $\vec{a}$ равны. При этом сами векторы $\vec{b}$ и $\vec{c}$ могут быть разными.

Ответ: Нет, не следует.