Номер 1.92, страница 43 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.92. В треугольнике $ABC$ проведена медиана $CC_1$. Покажите, что если:

1) $2CC_1 > AB$, то угол $C$ – острый;

2) $2CC_1 = AB$, то угол $C$ – прямой;

3) $2CC_1 < AB$, то угол $C$ – тупой.

Для доказательства всех трех утверждений воспользуемся методом достроения треугольника до параллелограмма и теоремой косинусов. Пусть дан треугольник $ABC$ с медианой $CC_1$.

Продлим медиану $CC_1$ за точку $C_1$ на ее длину до точки $D$ так, что $CC_1 = C_1D$. Четырехугольник $ACBD$ является параллелограммом, так как его диагонали $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $C_1$ и делятся ею пополам ($AC_1 = C_1B$ по определению медианы, $CC_1 = C_1D$ по построению).

Воспользуемся свойством параллелограмма: сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон. Для параллелограмма $ACBD$ это записывается как: $AB^2 + CD^2 = AC^2 + CB^2 + BD^2 + DA^2$. Так как в параллелограмме противолежащие стороны равны ($AC=BD$, $CB=DA$), получаем: $AB^2 + CD^2 = 2(AC^2 + BC^2)$.

Поскольку $CD = 2CC_1$, подставим это в равенство: $AB^2 + (2CC_1)^2 = 2(AC^2 + BC^2)$, откуда $AB^2 + 4CC_1^2 = 2(AC^2 + BC^2)$.

Теперь применим теорему косинусов для треугольника $ABC$ относительно угла $C$: $AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2(AC)(BC)\cos(\angle C)$.

Из свойства параллелограмма выразим $AC^2 + BC^2 = \frac{AB^2 + 4CC_1^2}{2}$ и подставим в теорему косинусов:$AB^2 = \frac{AB^2 + 4CC_1^2}{2} - 2(AC)(BC)\cos(\angle C)$.

Выразим отсюда $\cos(\angle C)$:$2(AC)(BC)\cos(\angle C) = \frac{AB^2 + 4CC_1^2}{2} - AB^2 = \frac{AB^2 + 4CC_1^2 - 2AB^2}{2} = \frac{4CC_1^2 - AB^2}{2}$.Отсюда получаем формулу: $\cos(\angle C) = \frac{4CC_1^2 - AB^2}{4(AC)(BC)}$.

Знаменатель $4(AC)(BC)$ в этой формуле всегда положителен, так как длины сторон треугольника положительны. Следовательно, знак $\cos(\angle C)$ полностью определяется знаком числителя $4CC_1^2 - AB^2$. Теперь мы можем рассмотреть каждый из трех случаев.

1) $2CC_1 > AB$

Если $2CC_1 > AB$, то, возводя обе положительные части неравенства в квадрат, получаем $(2CC_1)^2 > AB^2$, что равносильно $4CC_1^2 > AB^2$, или $4CC_1^2 - AB^2 > 0$.

Так как числитель в выведенной формуле положителен, то и $\cos(\angle C) > 0$.

Для угла в треугольнике (от $0^\circ$ до $180^\circ$) положительное значение косинуса означает, что угол является острым ($\angle C < 90^\circ$).

Ответ: Угол C — острый.

2) $2CC_1 = AB$

Если $2CC_1 = AB$, то $(2CC_1)^2 = AB^2$, что равносильно $4CC_1^2 = AB^2$, или $4CC_1^2 - AB^2 = 0$.

В этом случае числитель в формуле для косинуса равен нулю, следовательно, $\cos(\angle C) = 0$.

Для угла в треугольнике это означает, что угол является прямым ($\angle C = 90^\circ$). Это известное свойство: в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Ответ: Угол C — прямой.

3) $2CC_1 < AB$

Если $2CC_1 < AB$, то, возводя обе части в квадрат, получаем $(2CC_1)^2 < AB^2$, что равносильно $4CC_1^2 < AB^2$, или $4CC_1^2 - AB^2 < 0$.

Так как числитель в формуле отрицателен, то и $\cos(\angle C) < 0$.

Для угла в треугольнике отрицательное значение косинуса означает, что угол является тупым ($\angle C > 90^\circ$).

Ответ: Угол C — тупой.