Номер 1.95, страница 43 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.95. В параллелограмме $ABCD$ на стороне $AD$ взята точка $K$ так, что выполняется равенство $AK = \lambda \cdot AD(0<\lambda<1)$.

Прямая $BK$ пересекает диагональ $AC$ в точке $N$. Найдите отношение $AN : AC$.

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$. По условию, на стороне $AD$ взята точка $K$ так, что выполняется равенство $AK = \lambda \cdot AD$, где $0 < \lambda < 1$. Прямая $BK$ пересекает диагональ $AC$ в точке $N$. Нам необходимо найти отношение $AN : AC$.

Для решения задачи воспользуемся свойством подобных треугольников. Рассмотрим треугольники $\triangle ANK$ и $\triangle CNB$.

Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны $AD$ и $BC$ параллельны ($AD \parallel BC$). Так как точка $K$ лежит на стороне $AD$, то отрезок $AK$ также параллелен стороне $BC$ ($AK \parallel BC$).

1. Углы $\angle NAK$ и $\angle NCB$ (они же $\angle CAB$ и $\angle BCA$) являются накрест лежащими при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AC$. Следовательно, $\angle NAK = \angle NCB$.

2. Углы $\angle AKN$ и $\angle CBN$ (они же $\angle AKB$ и $\angle CBK$) являются накрест лежащими при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $BK$. Следовательно, $\angle AKN = \angle CBN$.

Таким образом, треугольники $\triangle ANK$ и $\triangle CNB$ подобны по двум углам (признак подобия АА).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:$ \frac{AN}{CN} = \frac{AK}{CB} = \frac{NK}{NB} $

Возьмем первую часть этого соотношения: $ \frac{AN}{CN} = \frac{AK}{CB} $.

В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны равны, поэтому $CB = AD$. Подставим это в наше равенство:$ \frac{AN}{CN} = \frac{AK}{AD} $

По условию задачи, $AK = \lambda \cdot AD$, что означает $ \frac{AK}{AD} = \lambda $.Следовательно, мы получаем:$ \frac{AN}{CN} = \lambda $

Нам нужно найти отношение $AN : AC$. Точка $N$ лежит на диагонали $AC$, поэтому длина отрезка $AC$ равна сумме длин отрезков $AN$ и $CN$: $AC = AN + CN$. Отсюда можно выразить $CN = AC - AN$.

Подставим это выражение для $CN$ в полученное ранее равенство:$ \frac{AN}{AC - AN} = \lambda $

Теперь решим это уравнение, чтобы выразить отношение $\frac{AN}{AC}$:$ AN = \lambda(AC - AN) $
$ AN = \lambda \cdot AC - \lambda \cdot AN $
$ AN + \lambda \cdot AN = \lambda \cdot AC $
$ AN(1 + \lambda) = \lambda \cdot AC $

Разделив обе части уравнения на $AC$ и на $(1 + \lambda)$, получим искомое отношение:$ \frac{AN}{AC} = \frac{\lambda}{1 + \lambda} $

Это означает, что отношение $AN : AC$ равно $\lambda : (1 + \lambda)$.

Ответ: Отношение $AN : AC$ равно $\frac{\lambda}{1 + \lambda}$.