Номер 1.89, страница 43 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.89. Покажите, что выполняется равенство $\vec{AB} \cdot \vec{CD} + \vec{AD} \times \vec{BC} - \vec{AC} \cdot \vec{BD} = 0$ для любых точек плоскости A, B, C, D.

В представленном выражении $\vec{AB} \cdot \vec{CD} + \vec{AD} \times \vec{BC} - \vec{AC} \cdot \vec{BD} = 0$ смешиваются операции скалярного и векторного произведения. Результатом скалярного произведения $(\cdot)$ является скаляр (число), а результатом векторного произведения $(\times)$ двух векторов на плоскости является вектор, перпендикулярный этой плоскости (или псевдоскаляр в 2D алгебре). Сложение скаляров и вектора является математически некорректной операцией. Следовательно, данное равенство в исходной форме не может быть доказано, так как оно не является корректно составленным математическим выражением.

Вероятнее всего, в условии задачи допущена опечатка, и вместо знака векторного произведения '×' должен стоять знак скалярного произведения '·'. Такое тождество является верным для любых четырех точек в пространстве (и, следовательно, на плоскости). Исправленное равенство выглядит так:

$\vec{AB} \cdot \vec{CD} + \vec{AD} \cdot \vec{BC} - \vec{AC} \cdot \vec{BD} = 0$

Докажем это тождество. Для этого выберем одну из точек, например A, в качестве начала координат и выразим все векторы через векторы, отложенные от этой точки. Пусть $\vec{b} = \vec{AB}$, $\vec{c} = \vec{AC}$ и $\vec{d} = \vec{AD}$.

Используя правило вычитания векторов, выразим остальные векторы, входящие в равенство:

$\vec{CD} = \vec{AD} - \vec{AC} = \vec{d} - \vec{c}$

$\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB} = \vec{c} - \vec{b}$

$\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB} = \vec{d} - \vec{b}$

Теперь подставим эти выражения в левую часть доказываемого тождества и преобразуем его:

$\vec{AB} \cdot \vec{CD} + \vec{AD} \cdot \vec{BC} - \vec{AC} \cdot \vec{BD} = \vec{b} \cdot (\vec{d} - \vec{c}) + \vec{d} \cdot (\vec{c} - \vec{b}) - \vec{c} \cdot (\vec{d} - \vec{b})$

Раскроем скобки, используя свойство дистрибутивности скалярного произведения относительно сложения векторов:

$= (\vec{b} \cdot \vec{d} - \vec{b} \cdot \vec{c}) + (\vec{d} \cdot \vec{c} - \vec{d} \cdot \vec{b}) - (\vec{c} \cdot \vec{d} - \vec{c} \cdot \vec{b})$

$= \vec{b} \cdot \vec{d} - \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{d} \cdot \vec{c} - \vec{d} \cdot \vec{b} - \vec{c} \cdot \vec{d} + \vec{c} \cdot \vec{b}$

Сгруппируем слагаемые, учитывая свойство коммутативности скалярного произведения ($\vec{x} \cdot \vec{y} = \vec{y} \cdot \vec{x}$):

$= (\vec{b} \cdot \vec{d} - \vec{d} \cdot \vec{b}) + (-\vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{b}) + (\vec{d} \cdot \vec{c} - \vec{c} \cdot \vec{d})$

$= 0 + 0 + 0 = 0$

Таким образом, левая часть тождества равна нулю, что и требовалось доказать. Равенство выполняется для любых четырех точек A, B, C, D на плоскости (и в пространстве).

Ответ: Исходное равенство в представленном виде некорректно с математической точки зрения. Если предположить опечатку в условии и заменить векторное произведение на скалярное, то полученное тождество $\vec{AB} \cdot \vec{CD} + \vec{AD} \cdot \vec{BC} - \vec{AC} \cdot \vec{BD} = 0$ является верным. Его доказательство основано на выражении всех векторов через три вектора с общим началом и последующем алгебраическом упрощении, которое показывает, что сумма равна нулю.