Номер 1.87, страница 42 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.87. Покажите, что для любых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ и выполняется неравенство $-\left|\vec{a}\right| \cdot \left|\vec{b}\right| \leq \vec{a} \cdot \vec{b} \leq \left|\vec{a}\right| \cdot \left|\vec{b}\right|$. При каких условиях выполняется равенство?

Доказательство неравенства $-|\vec{a}||\vec{b}| \le \vec{a} \cdot \vec{b} \le |\vec{a}||\vec{b}|$

Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ определяется формулой:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos\theta$

где $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — это модули (длины) векторов, а $\theta$ — угол между ними.

Рассмотрим два случая.

1. Если хотя бы один из векторов является нулевым (например, $\vec{a} = \vec{0}$), то его модуль равен нулю ($|\vec{a}| = 0$). В этом случае скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$, и произведение модулей $|\vec{a}||\vec{b}| = 0$. Неравенство принимает вид $0 \le 0 \le 0$, что является верным.

2. Если оба вектора ненулевые, то $|\vec{a}| > 0$ и $|\vec{b}| > 0$. Для любого угла $\theta$ значение его косинуса находится в пределах от -1 до 1:

$-1 \le \cos\theta \le 1$

Умножим все части этого двойного неравенства на положительное число $|\vec{a}||\vec{b}|$. Знак неравенства при этом не изменится:

$-1 \cdot |\vec{a}||\vec{b}| \le |\vec{a}||\vec{b}| \cos\theta \le 1 \cdot |\vec{a}||\vec{b}|$

Заменив среднюю часть на скалярное произведение, получаем искомое неравенство:

$-|\vec{a}||\vec{b}| \le \vec{a} \cdot \vec{b} \le |\vec{a}||\vec{b}|$

Таким образом, неравенство справедливо для любых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Ответ: Неравенство доказано на основе определения скалярного произведения и свойства функции косинуса.

Условия выполнения равенства

Равенство в данном неравенстве достигается в двух предельных случаях, которые соответствуют крайним значениям косинуса.

Случай 1: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|$

Из определения скалярного произведения следует:

$|\vec{a}||\vec{b}| \cos\theta = |\vec{a}||\vec{b}|$

Если хотя бы один из векторов нулевой, равенство выполняется, так как обе части равны нулю ($0 = 0$). Если оба вектора ненулевые, можно разделить обе части на $|\vec{a}||\vec{b}| \ne 0$, что дает:

$\cos\theta = 1$

Это условие выполняется, когда угол между векторами $\theta = 0$. Векторы с таким углом называются сонаправленными ($\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$).

Случай 2: $\vec{a} \cdot \vec{b} = -|\vec{a}||\vec{b}|$

Аналогично, из определения получаем:

$|\vec{a}||\vec{b}| \cos\theta = -|\vec{a}||\vec{b}|$

Если хотя бы один из векторов нулевой, равенство снова выполняется ($0 = 0$). Для ненулевых векторов, разделив на $|\vec{a}||\vec{b}|$, получим:

$\cos\theta = -1$

Это условие выполняется, когда угол между векторами $\theta = \pi$ (или $180^\circ$). Векторы с таким углом называются противоположно направленными ($\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$).

В обоих случаях, когда достигается равенство, векторы являются коллинеарными (лежат на одной прямой или на параллельных прямых). Нулевой вектор по определению коллинеарен любому другому вектору.

Ответ: Равенство в правой части ($\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|$) выполняется, когда векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены. Равенство в левой части ($\vec{a} \cdot \vec{b} = -|\vec{a}||\vec{b}|$) выполняется, когда векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены. В общем, равенство $|\vec{a} \cdot \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|$ достигается тогда и только тогда, когда векторы коллинеарны.