Номер 1.77, страница 42 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.77. Единичные векторы $\vec{l}_1$ и $\vec{l}_2$ взаимно перпендикулярны и $\vec{a}=2\vec{l}_1-\vec{l}_2$, $\vec{b}=\vec{l}_1+2\vec{l}_2$. Найдите значения $|\vec{a}|, |\vec{b}|, |\vec{a}+\vec{b}|, |\vec{a}-\vec{b}|$ и угол между векторами $\vec{a}+\vec{b}$ и $\vec{a}-\vec{b}$.

По условию задачи, векторы $\vec{l_1}$ и $\vec{l_2}$ являются единичными, то есть их модули равны единице, и они взаимно перпендикулярны, что означает, что их скалярное произведение равно нулю.

$|\vec{l_1}| = 1, |\vec{l_2}| = 1$

$\vec{l_1} \cdot \vec{l_2} = 0$

Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ выражены через $\vec{l_1}$ и $\vec{l_2}$ следующим образом:

$\vec{a} = 2\vec{l_1} - \vec{l_2}$

$\vec{b} = \vec{l_1} + 2\vec{l_2}$

Для решения задачи будем использовать свойство скалярного произведения векторов: квадрат модуля вектора равен его скалярному квадрату, т.е. $|\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v}$.

$|\vec{a}|$

Найдем квадрат модуля вектора $\vec{a}$:

$|\vec{a}|^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} = (2\vec{l_1} - \vec{l_2}) \cdot (2\vec{l_1} - \vec{l_2})$

Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения:

$|\vec{a}|^2 = 4(\vec{l_1} \cdot \vec{l_1}) - 2(\vec{l_1} \cdot \vec{l_2}) - 2(\vec{l_2} \cdot \vec{l_1}) + (\vec{l_2} \cdot \vec{l_2}) = 4|\vec{l_1}|^2 - 4(\vec{l_1} \cdot \vec{l_2}) + |\vec{l_2}|^2$

Подставим известные значения $|\vec{l_1}|=1, |\vec{l_2}|=1$ и $\vec{l_1} \cdot \vec{l_2}=0$:

$|\vec{a}|^2 = 4(1)^2 - 4(0) + (1)^2 = 4 - 0 + 1 = 5$

Отсюда, модуль вектора $\vec{a}$ равен:

$|\vec{a}| = \sqrt{5}$

Ответ: $|\vec{a}| = \sqrt{5}$.

$|\vec{b}|$

Аналогично найдем квадрат модуля вектора $\vec{b}$:

$|\vec{b}|^2 = \vec{b} \cdot \vec{b} = (\vec{l_1} + 2\vec{l_2}) \cdot (\vec{l_1} + 2\vec{l_2})$

$|\vec{b}|^2 = (\vec{l_1} \cdot \vec{l_1}) + 2(\vec{l_1} \cdot \vec{l_2}) + 2(\vec{l_2} \cdot \vec{l_1}) + 4(\vec{l_2} \cdot \vec{l_2}) = |\vec{l_1}|^2 + 4(\vec{l_1} \cdot \vec{l_2}) + 4|\vec{l_2}|^2$

Подставим известные значения:

$|\vec{b}|^2 = (1)^2 + 4(0) + 4(1)^2 = 1 + 0 + 4 = 5$

Модуль вектора $\vec{b}$ равен:

$|\vec{b}| = \sqrt{5}$

Ответ: $|\vec{b}| = \sqrt{5}$.

$|\vec{a}+\vec{b}|$

Сначала найдем вектор суммы $\vec{a}+\vec{b}$:

$\vec{a} + \vec{b} = (2\vec{l_1} - \vec{l_2}) + (\vec{l_1} + 2\vec{l_2}) = (2+1)\vec{l_1} + (-1+2)\vec{l_2} = 3\vec{l_1} + \vec{l_2}$

Теперь найдем модуль этого вектора:

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = (3\vec{l_1} + \vec{l_2}) \cdot (3\vec{l_1} + \vec{l_2}) = 9|\vec{l_1}|^2 + 6(\vec{l_1} \cdot \vec{l_2}) + |\vec{l_2}|^2$

Подставляем известные значения:

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = 9(1)^2 + 6(0) + (1)^2 = 9 + 0 + 1 = 10$

Модуль суммы векторов равен:

$|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{10}$

Ответ: $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{10}$.

$|\vec{a}-\vec{b}|$

Сначала найдем вектор разности $\vec{a}-\vec{b}$:

$\vec{a} - \vec{b} = (2\vec{l_1} - \vec{l_2}) - (\vec{l_1} + 2\vec{l_2}) = (2-1)\vec{l_1} + (-1-2)\vec{l_2} = \vec{l_1} - 3\vec{l_2}$

Теперь найдем модуль этого вектора:

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (\vec{l_1} - 3\vec{l_2}) \cdot (\vec{l_1} - 3\vec{l_2}) = |\vec{l_1}|^2 - 6(\vec{l_1} \cdot \vec{l_2}) + 9|\vec{l_2}|^2$

Подставляем известные значения:

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (1)^2 - 6(0) + 9(1)^2 = 1 - 0 + 9 = 10$

Модуль разности векторов равен:

$|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{10}$

Ответ: $|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{10}$.

Угол между векторами $\vec{a}+\vec{b}$ и $\vec{a}-\vec{b}$

Обозначим угол между векторами $\vec{a}+\vec{b}$ и $\vec{a}-\vec{b}$ как $\theta$. Косинус этого угла можно найти по формуле скалярного произведения:

$\cos\theta = \frac{(\vec{a}+\vec{b}) \cdot (\vec{a}-\vec{b})}{|\vec{a}+\vec{b}| \cdot |\vec{a}-\vec{b}|}$

Найдем скалярное произведение в числителе:

$(\vec{a}+\vec{b}) \cdot (\vec{a}-\vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2$

Из предыдущих пунктов мы знаем, что $|\vec{a}|^2 = 5$ и $|\vec{b}|^2 = 5$.

$(\vec{a}+\vec{b}) \cdot (\vec{a}-\vec{b}) = 5 - 5 = 0$

Так как скалярное произведение векторов равно нулю, это означает, что векторы $\vec{a}+\vec{b}$ и $\vec{a}-\vec{b}$ взаимно перпендикулярны.

$\cos\theta = \frac{0}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}} = 0$

Следовательно, угол $\theta = 90^\circ$ (или $\frac{\pi}{2}$ радиан).

Ответ: $90^\circ$.