Номер 1.73, страница 41 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.73. Заполните таблицу:

Для заполнения таблицы воспользуемся определением скалярного произведения векторов: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\widehat{\vec{a}, \vec{b}})$, где $(\widehat{\vec{a}, \vec{b}})$ — угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Из этой формулы можно выразить любую из величин, зная остальные.

Расчет для первого столбца
Дано: $|\vec{a}| = \sqrt{3}$, $|\vec{b}| = 4$, $(\widehat{\vec{a}, \vec{b}}) = 30^{\circ}$.
Требуется найти скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$.
Подставляем данные в формулу: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\widehat{\vec{a}, \vec{b}}) = \sqrt{3} \cdot 4 \cdot \cos(30^{\circ})$.
Так как $\cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем: $\vec{a} \cdot \vec{b} = \sqrt{3} \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$.
Ответ: 6.

Расчет для второго столбца
Дано: $|\vec{a}| = 8$, $|\vec{b}| = 5$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = 20$.
Требуется найти угол $(\widehat{\vec{a}, \vec{b}})$.
Из формулы скалярного произведения выражаем косинус угла: $\cos(\widehat{\vec{a}, \vec{b}}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$.
Подставляем значения: $\cos(\widehat{\vec{a}, \vec{b}}) = \frac{20}{8 \cdot 5} = \frac{20}{40} = \frac{1}{2}$.
Угол в диапазоне от $0^{\circ}$ до $180^{\circ}$, косинус которого равен $\frac{1}{2}$, это $60^{\circ}$.
Ответ: $60^{\circ}$.

Расчет для третьего столбца
Дано: $|\vec{a}| = 7$, $(\widehat{\vec{a}, \vec{b}}) = 45^{\circ}$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = 7$.
Требуется найти модуль вектора $|\vec{b}|$.
Из формулы скалярного произведения выражаем $|\vec{b}|$: $|\vec{b}| = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cos(\widehat{\vec{a}, \vec{b}})}$.
Подставляем значения: $|\vec{b}| = \frac{7}{7 \cdot \cos(45^{\circ})} = \frac{1}{\cos(45^{\circ})}$.
Так как $\cos(45^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем: $|\vec{b}| = \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.
Ответ: $\sqrt{2}$.

Расчет для четвертого столбца
Дано: $|\vec{a}| = 0,01$, $|\vec{b}| = 9,01$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.
Требуется найти угол $(\widehat{\vec{a}, \vec{b}})$.
Находим косинус угла: $\cos(\widehat{\vec{a}, \vec{b}}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{0}{0,01 \cdot 9,01} = 0$.
Так как модули векторов не равны нулю, их скалярное произведение равно нулю только если векторы перпендикулярны. Угол, косинус которого равен 0, это $90^{\circ}$.
Ответ: $90^{\circ}$.

Расчет для пятого столбца
Дано: $|\vec{b}| = 2$, $(\widehat{\vec{a}, \vec{b}}) = 120^{\circ}$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = -3$.
Требуется найти модуль вектора $|\vec{a}|$.
Из формулы скалярного произведения выражаем $|\vec{a}|$: $|\vec{a}| = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}| \cos(\widehat{\vec{a}, \vec{b}})}$.
Так как $\cos(120^{\circ}) = -\frac{1}{2}$, подставляем значения: $|\vec{a}| = \frac{-3}{2 \cdot (-\frac{1}{2})} = \frac{-3}{-1} = 3$.
Ответ: 3.

Расчет для шестого столбца
Дано: $|\vec{a}| = \sqrt{2}$, $|\vec{b}| = 6$, $(\widehat{\vec{a}, \vec{b}}) = 135^{\circ}$.
Требуется найти скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$.
Подставляем данные в формулу: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\widehat{\vec{a}, \vec{b}}) = \sqrt{2} \cdot 6 \cdot \cos(135^{\circ})$.
Так как $\cos(135^{\circ}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем: $\vec{a} \cdot \vec{b} = \sqrt{2} \cdot 6 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -6 \cdot \frac{2}{2} = -6$.
Ответ: -6.

Расчет для седьмого столбца
Дано: $|\vec{a}| = 4$, $|\vec{b}| = \sqrt{3}$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = -6$.
Требуется найти угол $(\widehat{\vec{a}, \vec{b}})$.
Находим косинус угла: $\cos(\widehat{\vec{a}, \vec{b}}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{-6}{4 \cdot \sqrt{3}} = \frac{-3}{2\sqrt{3}}$.
Упрощаем дробь: $\cos(\widehat{\vec{a}, \vec{b}}) = \frac{-3 \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{-3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Угол, косинус которого равен $-\frac{\sqrt{3}}{2}$, это $150^{\circ}$.
Ответ: $150^{\circ}$.