Страница 39 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Какой угол называется углом между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$?

2. Как определяется угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ в общем случае?

3. Сформулируйте определение скалярного произведения двух векторов? Что является скалярным произведением векторов: число или вектор?

4. Сформулируйте свойства скалярного произведения.

5. Какое условие является необходимым и достаточным для перпендикулярности двух векторов?

6. Укажите принципы применения элементов векторной алгебры.

1. Углом между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$, отложенными от одной точки A, называется угол $BAC$, образованный лучами AB и AC.
Ответ: Угол $BAC$.

2. Для определения угла между двумя произвольными ненулевыми векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ их необходимо отложить от одной общей точки, например, точки $O$. Тогда векторы будут представлены как $\vec{OA} = \vec{a}$ и $\vec{OB} = \vec{b}$. Углом между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ будет считаться угол $AOB$. Величина этого угла $\alpha$ находится в пределах от $0^\circ$ до $180^\circ$ (или от $0$ до $\pi$ радиан). Если хотя бы один из векторов нулевой, угол между ними не определён.
Ответ: Угол между лучами, соответствующими векторам, если их отложить от одной точки.

3. Скалярным произведением двух ненулевых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется число, равное произведению длин (модулей) этих векторов на косинус угла между ними. Это выражается формулой: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$, где $\alpha$ — угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Если один из векторов является нулевым, их скалярное произведение равно нулю. Результатом скалярного произведения является скаляр, то есть число.
Ответ: Скалярное произведение — это число, равное произведению длин векторов на косинус угла между ними; результатом является число.

4. Основные свойства скалярного произведения для любых векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ и любого числа $k$:
1. Скалярный квадрат вектора: $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$. Скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его длины.
2. Коммутативность (переместительное свойство): $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$.
3. Дистрибутивность (распределительное свойство) относительно сложения векторов: $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}$.
4. Сочетательное свойство относительно умножения на скаляр: $(k\vec{a}) \cdot \vec{b} = k(\vec{a} \cdot \vec{b})$.
Ответ: Коммутативность, дистрибутивность, сочетательность относительно умножения на скаляр, свойство скалярного квадрата.

5. Необходимым и достаточным условием перпендикулярности (ортогональности) двух ненулевых векторов является равенство их скалярного произведения нулю. Таким образом, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны ($\vec{a} \perp \vec{b}$) тогда и только тогда, когда $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. Это следует из определения, так как если угол между векторами равен $90^\circ$, то $\cos(90^\circ) = 0$.
Ответ: Равенство скалярного произведения этих векторов нулю.

6. Элементы векторной алгебры применяются для моделирования и решения задач, в которых важны как величина, так и направление. Основные принципы применения:
• В физике: для описания и анализа векторных физических величин, таких как сила, скорость, ускорение, перемещение, напряженность электрического и магнитного полей. Например, работа силы вычисляется через скалярное произведение: $A = \vec{F} \cdot \vec{s}$.
• В геометрии: для аналитического решения геометрических задач. С помощью векторов можно доказывать теоремы, находить длины отрезков, углы между прямыми и плоскостями, расстояния от точки до плоскости, а также задавать уравнения прямых и плоскостей.
• В компьютерной графике: для создания и манипулирования 2D и 3D объектами. Векторы используются для определения положения вершин, направления нормалей к поверхностям (важно для расчета освещения), а также для выполнения аффинных преобразований (перенос, поворот, масштабирование).
• В инженерных дисциплинах: в теоретической механике, сопротивлении материалов, гидравлике для расчета сил, моментов и напряжений в конструкциях и системах.
Ответ: Принципы применения включают описание векторных величин в физике, аналитическое решение задач в геометрии, моделирование объектов и освещения в компьютерной графике, а также расчеты сил и напряжений в инженерии.