Страница 33 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.49. При каком условии точка C лежит на прямой AB?

Для того чтобы точка $C$ лежала на прямой $AB$, необходимо и достаточно, чтобы все три точки $A$, $B$ и $C$ были коллинеарны, то есть лежали на одной прямой. Это фундаментальное условие в геометрии, и его можно выразить несколькими эквивалентными способами.

Векторное условие

Три точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда векторы, составленные из этих точек, коллинеарны. Например, векторы $\vec{AC}$ и $\vec{AB}$ должны быть коллинеарны. Коллинеарность двух векторов означает, что один вектор можно получить из другого умножением на некоторое число $k$ (скаляр):
$\vec{AC} = k \cdot \vec{AB}$
Здесь $k$ — это действительное число. В зависимости от значения $k$ точка $C$ будет занимать различное положение на прямой $AB$:
• Если $k=0$, то точка $C$ совпадает с точкой $A$.
• Если $k=1$, то точка $C$ совпадает с точкой $B$.
• Если $0 < k < 1$, то точка $C$ лежит между точками $A$ и $B$.
• Если $k > 1$, то точка $B$ лежит между точками $A$ и $C$.
• Если $k < 0$, то точка $A$ лежит между точками $C$ и $B$.
Если точки заданы своими координатами $A(x_A, y_A)$, $B(x_B, y_B)$ и $C(x_C, y_C)$, то условие коллинеарности векторов $\vec{AC} = (x_C - x_A, y_C - y_A)$ и $\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A)$ записывается как пропорциональность их координат: $\frac{x_C - x_A}{x_B - x_A} = \frac{y_C - y_A}{y_B - y_A}$ (при условии, что знаменатели не равны нулю).

Условие, основанное на расстояниях

Данное условие следует из аксиомы измерения отрезков и неравенства треугольника. Точка $C$ лежит на прямой $AB$ тогда и только тогда, когда выполняется одно из трех равенств, связывающих длины отрезков $AB$, $AC$ и $BC$. Это означает, что длина самого большого из трех отрезков равна сумме длин двух других.
Рассмотрим три возможных случая расположения точек:

Случай 1: Точка C лежит на отрезке AB.

В этом случае длина отрезка $AB$ равна сумме длин отрезков $AC$ и $CB$. Математически: $AC + CB = AB$.

Случай 2: Точка A лежит на отрезке CB.

В этом случае длина отрезка $CB$ равна сумме длин отрезков $CA$ и $AB$. Математически: $CA + AB = CB$.

Случай 3: Точка B лежит на отрезке AC.

В этом случае длина отрезка $AC$ равна сумме длин отрезков $AB$ и $BC$. Математически: $AB + BC = AC$.

Таким образом, все три случая объединяются в одно общее условие: сумма длин двух из трех отрезков, образованных точками $A$, $B$ и $C$, должна быть равна длине третьего отрезка.

Ответ: Точка $C$ лежит на прямой $AB$ при выполнении одного из следующих эквивалентных условий:
1. Векторы $\vec{AC}$ и $\vec{AB}$ коллинеарны, то есть существует такое действительное число $k$, что выполняется равенство $\vec{AC} = k \cdot \vec{AB}$.
2. Сумма длин двух из трех отрезков $AC$, $BC$ и $AB$ равна длине третьего отрезка. То есть выполняется одно из равенств: $AC + CB = AB$, или $CA + AB = CB$, или $AB + BC = AC$.

1.50. Даны неколлинеарные векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$. Докажите, что существуют числа $\alpha$ и $\beta$ такие, что $\vec{c} = \alpha \vec{a} + \beta \vec{b}$.

Формулировка задачи, представленная на изображении, содержит внутреннее противоречие. Сначала разберем это противоречие, а затем решим наиболее вероятную корректную версию задачи.

Анализ исходной формулировки

В условии сказано, что векторы $ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} $ некомпланарны. Некомпланарные векторы — это векторы, которые не лежат в одной плоскости (при условии, что их начала совмещены в одной точке).

При этом требуется доказать, что существуют такие числа $ \alpha $ и $ \beta $, для которых выполняется равенство $ \vec{c} = \alpha\vec{a} + \beta\vec{b} $. Это равенство означает, что вектор $ \vec{c} $ является линейной комбинацией векторов $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $. По определению, любой вектор, являющийся линейной комбинацией двух других векторов, лежит с ними в одной плоскости. То есть, из равенства $ \vec{c} = \alpha\vec{a} + \beta\vec{b} $ следует, что векторы $ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} $ компланарны.

Таким образом, условие (векторы некомпланарны) противоречит утверждению, которое нужно доказать (векторы компланарны). Следовательно, доказать утверждение в его исходной формулировке невозможно, так как оно ложно.

Вероятная корректная формулировка и ее решение

Скорее всего, в задаче допущена опечатка. Наиболее известная и фундаментальная теорема, связанная с данной темой, формулируется следующим образом:

Теорема: Любой вектор $ \vec{c} $, компланарный двум неколлинеарным векторам $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $, может быть представлен в виде их линейной комбинации: $ \vec{c} = \alpha\vec{a} + \beta\vec{b} $, где $ \alpha $ и $ \beta $ — некоторые числа.

Доказательство:

Пусть даны два неколлинеарных вектора $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ и компланарный им вектор $ \vec{c} $. Неколлинеарность векторов $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ означает, что они не лежат на одной прямой.

1. Отложим все три вектора от общего начала — точки $ O $. Получим векторы $ \vec{OA} = \vec{a} $, $ \vec{OB} = \vec{b} $ и $ \vec{OC} = \vec{c} $. Поскольку векторы компланарны, точки $ O, A, B, C $ лежат в одной плоскости.

2. Проведем через точку $ C $ прямую, параллельную прямой $ OB $ (на которой лежит вектор $ \vec{b} $). Так как векторы $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ неколлинеарны, прямые $ OA $ и $ OB $ пересекаются. Следовательно, прямая, проведенная через $ C $ параллельно $ OB $, пересечет прямую $ OA $ в некоторой точке $ A' $.

3. Вектор $ \vec{OA'} $ лежит на прямой $ OA $, значит, он коллинеарен вектору $ \vec{a} $. Следовательно, существует такое число $ \alpha $, что $ \vec{OA'} = \alpha\vec{a} $.

4. Аналогично, проведем через точку $ C $ прямую, параллельную прямой $ OA $. Она пересечет прямую $ OB $ в некоторой точке $ B' $. Вектор $ \vec{OB'} $ коллинеарен вектору $ \vec{b} $, и, следовательно, существует такое число $ \beta $, что $ \vec{OB'} = \beta\vec{b} $.

5. По построению, четырехугольник $ OA'CB' $ является параллелограммом. По правилу параллелограмма для сложения векторов, диагональ $ \vec{OC} $ равна сумме векторов, образующих его стороны, исходящие из той же вершины: $ \vec{OC} = \vec{OA'} + \vec{OB'} $.

6. Подставив выражения из шагов 3 и 4 в равенство из шага 5, получим требуемое разложение: $ \vec{c} = \alpha\vec{a} + \beta\vec{b} $.

Таким образом, мы доказали, что для любых двух неколлинеарных векторов $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ и компланарного им вектора $ \vec{c} $ существуют числа $ \alpha $ и $ \beta $, позволяющие представить $ \vec{c} $ в виде их линейной комбинации.

Ответ: Утверждение, которое нужно доказать, справедливо, если исправить условие "некомпланарные векторы $ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} $" на "неколлинеарные векторы $ \vec{a}, \vec{b} $ и компланарный им вектор $ \vec{c} $". Доказательство основано на правиле параллелограмма для сложения векторов и свойстве коллинеарных векторов. Любой вектор $ \vec{c} $ в плоскости, заданной векторами $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $, можно представить как диагональ параллелограмма, стороны которого коллинеарны векторам $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $. Длины этих сторон, отнесенные к длинам векторов $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $, и дают искомые коэффициенты $ \alpha $ и $ \beta $.

1.51. Пусть $\vec{x}=\vec{m}+\vec{n}$, $\vec{y}=\vec{m}-\vec{n}$. Выразите векторы:

1) $2\vec{x}-2\vec{y}$;

2) $2\vec{x}+\frac{\vec{y}}{2}$;

3) $-\vec{x}-\frac{\vec{y}}{3}$

через векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$.

Дано: $\vec{x} = \vec{m} + \vec{n}$, $\vec{y} = \vec{m} - \vec{n}$.

Необходимо выразить заданные векторные выражения через векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$.

1) $2\vec{x}-2\vec{y}$

Подставим выражения для векторов $\vec{x}$ и $\vec{y}$:

$2\vec{x} - 2\vec{y} = 2(\vec{m} + \vec{n}) - 2(\vec{m} - \vec{n})$

Раскроем скобки, умножая каждый вектор в скобках на скалярный множитель:

$2\vec{m} + 2\vec{n} - (2\vec{m} - 2\vec{n})$

Еще раз раскроем скобки, меняя знаки:

$2\vec{m} + 2\vec{n} - 2\vec{m} + 2\vec{n}$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(2\vec{m} - 2\vec{m}) + (2\vec{n} + 2\vec{n}) = 0\vec{m} + 4\vec{n} = 4\vec{n}$

Ответ: $4\vec{n}$

2) $2\vec{x}+\frac{\vec{y}}{2}$

Подставим выражения для векторов $\vec{x}$ и $\vec{y}$:

$2\vec{x} + \frac{\vec{y}}{2} = 2(\vec{m} + \vec{n}) + \frac{1}{2}(\vec{m} - \vec{n})$

Раскроем скобки:

$2\vec{m} + 2\vec{n} + \frac{1}{2}\vec{m} - \frac{1}{2}\vec{n}$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые для $\vec{m}$ и $\vec{n}$:

$(2\vec{m} + \frac{1}{2}\vec{m}) + (2\vec{n} - \frac{1}{2}\vec{n})$

Выполним сложение и вычитание коэффициентов:

$(\frac{4}{2} + \frac{1}{2})\vec{m} + (\frac{4}{2} - \frac{1}{2})\vec{n} = \frac{5}{2}\vec{m} + \frac{3}{2}\vec{n}$

Ответ: $\frac{5}{2}\vec{m} + \frac{3}{2}\vec{n}$

3) $-\vec{x}-\frac{\vec{y}}{3}$

Подставим выражения для векторов $\vec{x}$ и $\vec{y}$:

$-\vec{x} - \frac{\vec{y}}{3} = -(\vec{m} + \vec{n}) - \frac{1}{3}(\vec{m} - \vec{n})$

Раскроем скобки:

$-\vec{m} - \vec{n} - \frac{1}{3}\vec{m} + \frac{1}{3}\vec{n}$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(-\vec{m} - \frac{1}{3}\vec{m}) + (-\vec{n} + \frac{1}{3}\vec{n})$

Выполним сложение и вычитание коэффициентов:

$(-\frac{3}{3} - \frac{1}{3})\vec{m} + (-\frac{3}{3} + \frac{1}{3})\vec{n} = -\frac{4}{3}\vec{m} - \frac{2}{3}\vec{n}$

Ответ: $-\frac{4}{3}\vec{m} - \frac{2}{3}\vec{n}$

1.52. В параллелограмме $ABCD$ точка $O$ является точкой пересечения его диагоналей, а точка $E$ – серединой стороны $CD$. Выразите векторы:

1) $\vec{OA}$;

2) $\vec{AE}$

через векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$.

Для решения задачи представим параллелограмм $ABCD$ и указанные на нем точки.

1) $\vec{OA}$

В параллелограмме $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам. Следовательно, точка $O$ является серединой диагонали $AC$.

Это означает, что вектор $\vec{AO}$ составляет половину вектора $\vec{AC}$, то есть $\vec{AO} = \frac{1}{2}\vec{AC}$.

Вектор $\vec{OA}$ имеет то же направление, что и $\vec{CA}$, и противоположен вектору $\vec{AC}$. Таким образом, $\vec{OA} = -\vec{AO} = -\frac{1}{2}\vec{AC}$.

По правилу параллелограмма для сложения векторов, вектор диагонали $\vec{AC}$ равен сумме векторов смежных сторон, исходящих из той же вершины: $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$.

Подставим полученное выражение для $\vec{AC}$ в формулу для $\vec{OA}$:

$\vec{OA} = -\frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AD}) = -\frac{1}{2}\vec{AB} - \frac{1}{2}\vec{AD}$.

Ответ: $\vec{OA} = -\frac{1}{2}\vec{AB} - \frac{1}{2}\vec{AD}$.

2) $\vec{AE}$

Чтобы найти вектор $\vec{AE}$, воспользуемся правилом сложения векторов (правило треугольника). Мы можем двигаться из точки $A$ в точку $D$, а затем из $D$ в $E$.

$\vec{AE} = \vec{AD} + \vec{DE}$.

По условию, точка $E$ — середина стороны $CD$. Следовательно, вектор $\vec{DE}$ равен половине вектора $\vec{DC}$: $\vec{DE} = \frac{1}{2}\vec{DC}$.

В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны $AB$ и $DC$ параллельны и равны по длине, поэтому векторы, их представляющие, равны: $\vec{DC} = \vec{AB}$.

Подставим это равенство в выражение для $\vec{DE}$:

$\vec{DE} = \frac{1}{2}\vec{AB}$.

Теперь подставим полученное выражение для $\vec{DE}$ в исходную формулу для $\vec{AE}$:

$\vec{AE} = \vec{AD} + \frac{1}{2}\vec{AB}$.

Ответ: $\vec{AE} = \vec{AD} + \frac{1}{2}\vec{AB}$.

1.53. Диагонали квадрата ABCD пересекаются в точке O, а точки E и K — середины сторон AB и AD соответственно. Выразите векторы:

1) $ \vec{BC} $;

2) $ \vec{AC} $;

3) $ \vec{OD} $;

4) $ \vec{KE} $;

5) $ \vec{ED} $;

6) $ \vec{KC} $

через векторы $ \vec{AE} $ и $ \vec{AK} $.

По условию задачи, $ABCD$ – это квадрат, диагонали которого пересекаются в точке $O$. Точки $E$ и $K$ – середины сторон $AB$ и $AD$ соответственно. Нам нужно выразить несколько векторов через базисные векторы $\vec{AE}$ и $\vec{AK}$.

Из того, что $E$ – середина $AB$ и $K$ – середина $AD$, следуют соотношения:
$\vec{AB} = 2\vec{AE}$
$\vec{AD} = 2\vec{AK}$

1) $\vec{BC}$
В квадрате $ABCD$ противоположные стороны $AD$ и $BC$ параллельны, равны по длине и одинаково направлены. Следовательно, векторы, лежащие на этих сторонах, равны: $\vec{BC} = \vec{AD}$.
Поскольку $K$ – середина $AD$, то $\vec{AD} = 2\vec{AK}$.
Таким образом, $\vec{BC} = 2\vec{AK}$.
Ответ: $\vec{BC} = 2\vec{AK}$.

2) $\vec{AC}$
По правилу параллелограмма для сложения векторов, исходящих из одной точки, диагональ $\vec{AC}$ является суммой векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$. Но так как $\vec{AD} = \vec{BC}$, можно использовать и правило треугольника:
$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$.
Подставляем известные нам выражения: $\vec{AB} = 2\vec{AE}$ и $\vec{BC} = 2\vec{AK}$.
$\vec{AC} = 2\vec{AE} + 2\vec{AK}$.
Ответ: $\vec{AC} = 2\vec{AE} + 2\vec{AK}$.

3) $\vec{OD}$
В квадрате диагонали в точке пересечения $O$ делятся пополам. Значит, $O$ – середина диагонали $BD$. Отсюда следует, что $\vec{OD} = \frac{1}{2}\vec{BD}$.
Вектор $\vec{BD}$ можно выразить через разность векторов $\vec{AD}$ и $\vec{AB}$ по правилу треугольника:
$\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB}$.
Подставляем выражения для $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$:
$\vec{BD} = 2\vec{AK} - 2\vec{AE}$.
Теперь находим $\vec{OD}$:
$\vec{OD} = \frac{1}{2}(2\vec{AK} - 2\vec{AE}) = \vec{AK} - \vec{AE}$.
Ответ: $\vec{OD} = \vec{AK} - \vec{AE}$.

4) $\vec{KE}$
Вектор $\vec{KE}$ можно найти как разность векторов, проведенных из начала координат (в нашем случае из точки $A$) в концы данного вектора:
$\vec{KE} = \vec{AE} - \vec{AK}$.
Ответ: $\vec{KE} = \vec{AE} - \vec{AK}$.

5) $\vec{ED}$
Аналогично предыдущему пункту, выразим вектор $\vec{ED}$ через разность векторов с общим началом в точке $A$:
$\vec{ED} = \vec{AD} - \vec{AE}$.
Подставляем известное соотношение $\vec{AD} = 2\vec{AK}$:
$\vec{ED} = 2\vec{AK} - \vec{AE}$.
Ответ: $\vec{ED} = 2\vec{AK} - \vec{AE}$.

6) $\vec{KC}$
Выразим вектор $\vec{KC}$ через разность векторов с общим началом в точке $A$:
$\vec{KC} = \vec{AC} - \vec{AK}$.
Из пункта 2 мы уже знаем, что $\vec{AC} = 2\vec{AE} + 2\vec{AK}$. Подставим это выражение:
$\vec{KC} = (2\vec{AE} + 2\vec{AK}) - \vec{AK} = 2\vec{AE} + \vec{AK}$.
Ответ: $\vec{KC} = 2\vec{AE} + \vec{AK}$.

1.54. Точка N лежит на стороне BC параллелограмма ABCD так, что BN : NC=3 : 1. Выразите векторы $\vec{AN}$ и $\vec{ND}$ через векторы $\vec{a}=AD$ и $\vec{b}=AB$.

Для решения задачи воспользуемся свойствами векторов и параллелограмма. Построим чертеж для наглядности.

$\vec{AN}$

Вектор $\vec{AN}$ можно выразить по правилу сложения векторов (правило треугольника), пройдя из точки $A$ в точку $N$ через точку $B$:$\vec{AN} = \vec{AB} + \vec{BN}$.

По условию задачи нам дано, что $\vec{AB} = \vec{b}$.

Теперь необходимо выразить вектор $\vec{BN}$ через заданные векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Точка $N$ лежит на стороне $BC$ и делит ее в отношении $BN:NC=3:1$. Это означает, что длина отрезка $BN$ составляет $\frac{3}{3+1} = \frac{3}{4}$ от длины всей стороны $BC$. Так как точка $N$ лежит между $B$ и $C$, векторы $\vec{BN}$ и $\vec{BC}$ сонаправлены. Следовательно, мы можем записать:$\vec{BN} = \frac{3}{4}\vec{BC}$.

В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны равны и параллельны, поэтому векторы, построенные на этих сторонах, равны: $\vec{BC} = \vec{AD}$.

Из условия мы знаем, что $\vec{AD} = \vec{a}$, значит, $\vec{BC} = \vec{a}$.

Подставим это в выражение для $\vec{BN}$:$\vec{BN} = \frac{3}{4}\vec{a}$.

Теперь подставим выражения для $\vec{AB}$ и $\vec{BN}$ в исходную формулу для $\vec{AN}$:$\vec{AN} = \vec{AB} + \vec{BN} = \vec{b} + \frac{3}{4}\vec{a}$.

Ответ: $\vec{AN} = \vec{b} + \frac{3}{4}\vec{a}$.

$\vec{ND}$

Для нахождения вектора $\vec{ND}$ также воспользуемся правилом сложения векторов. Пройдем из точки $N$ в точку $D$ через точку $C$:$\vec{ND} = \vec{NC} + \vec{CD}$.

Найдем вектор $\vec{NC}$. Из отношения $BN:NC=3:1$ следует, что длина $NC$ составляет $\frac{1}{3+1} = \frac{1}{4}$ от длины $BC$. Векторы $\vec{NC}$ и $\vec{BC}$ сонаправлены.$\vec{NC} = \frac{1}{4}\vec{BC}$.

Так как $\vec{BC} = \vec{a}$, получаем:$\vec{NC} = \frac{1}{4}\vec{a}$.

Теперь найдем вектор $\vec{CD}$. В параллелограмме $ABCD$ вектор $\vec{CD}$ равен вектору $\vec{BA}$. Вектор $\vec{BA}$ является противоположным вектору $\vec{AB}$:$\vec{CD} = \vec{BA} = -\vec{AB}$.

По условию $\vec{AB} = \vec{b}$, следовательно:$\vec{CD} = -\vec{b}$.

Подставим найденные выражения для $\vec{NC}$ и $\vec{CD}$ в формулу для $\vec{ND}$:$\vec{ND} = \vec{NC} + \vec{CD} = \frac{1}{4}\vec{a} - \vec{b}$.

Проверка: можно выразить $\vec{ND}$ через уже найденный вектор $\vec{AN}$ и данный вектор $\vec{AD}$. В треугольнике $AND$ справедливо равенство $\vec{AD} = \vec{AN} + \vec{ND}$. Отсюда $\vec{ND} = \vec{AD} - \vec{AN} = \vec{a} - (\vec{b} + \frac{3}{4}\vec{a}) = \vec{a} - \vec{b} - \frac{3}{4}\vec{a} = (1 - \frac{3}{4})\vec{a} - \vec{b} = \frac{1}{4}\vec{a} - \vec{b}$. Результаты совпадают.

Ответ: $\vec{ND} = \frac{1}{4}\vec{a} - \vec{b}$.

1.55. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, а точка N делит сторону AD в отношении $AN : ND = 1 : 2$. Выразите через векторы $\vec{x} = \vec{AD}$ и $\vec{y} = \vec{AB}$ векторы:

1) $\vec{AC}, \vec{AO}, \vec{CO}, \vec{OD}, \vec{AD} + \vec{BC}, \vec{AD} + \vec{CO}, \vec{CO} + \vec{OA}$;

2) $\vec{AN}, \vec{NC}, \vec{BN}, \vec{ON}$.

Дано: параллелограмм $ABCD$, диагонали пересекаются в точке $O$. Точка $N$ лежит на стороне $AD$ так, что $AN : ND = 1 : 2$. Введены базисные векторы $\vec{x} = \overrightarrow{AD}$ и $\vec{y} = \overrightarrow{AB}$.

Используем свойства векторов и параллелограмма:

1. Противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны, поэтому $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} = \vec{x}$ и $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB} = \vec{y}$.

2. Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам, поэтому $\overrightarrow{AO} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{BO} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BD}$.

3. Точка $N$ делит отрезок $AD$ в отношении $1:2$, значит $\overrightarrow{AN} = \frac{1}{1+2}\overrightarrow{AD} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$.

1)

$\overrightarrow{AC}$: По правилу сложения векторов (правило треугольника для $\triangle ABC$):
$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \vec{y} + \vec{x}$.
Ответ: $\overrightarrow{AC} = \vec{x} + \vec{y}$.

$\overrightarrow{AO}$: Точка $O$ — середина диагонали $AC$, поэтому:
$\overrightarrow{AO} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} = \frac{1}{2}(\vec{x} + \vec{y})$.
Ответ: $\overrightarrow{AO} = \frac{1}{2}\vec{x} + \frac{1}{2}\vec{y}$.

$\overrightarrow{CO}$: Вектор $\overrightarrow{CO}$ противоположен вектору $\overrightarrow{AO}$:
$\overrightarrow{CO} = -\overrightarrow{AO} = -\frac{1}{2}(\vec{x} + \vec{y})$.
Ответ: $\overrightarrow{CO} = -\frac{1}{2}\vec{x} - \frac{1}{2}\vec{y}$.

$\overrightarrow{OD}$: Сначала найдем вектор диагонали $\overrightarrow{BD}$. По правилу треугольника для $\triangle ABD$: $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} = \vec{x} - \vec{y}$.
Точка $O$ — середина диагонали $BD$, поэтому $\overrightarrow{OD} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BD}$.
$\overrightarrow{OD} = \frac{1}{2}(\vec{x} - \vec{y})$.
Ответ: $\overrightarrow{OD} = \frac{1}{2}\vec{x} - \frac{1}{2}\vec{y}$.

$\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC}$: В параллелограмме $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$.
$\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{AD} = 2\vec{x}$.
Ответ: $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} = 2\vec{x}$.

$\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CO}$: Подставим ранее найденные выражения:
$\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CO} = \vec{x} + (-\frac{1}{2}(\vec{x} + \vec{y})) = \vec{x} - \frac{1}{2}\vec{x} - \frac{1}{2}\vec{y} = \frac{1}{2}\vec{x} - \frac{1}{2}\vec{y}$.
Ответ: $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CO} = \frac{1}{2}\vec{x} - \frac{1}{2}\vec{y}$.

$\overrightarrow{CO} + \overrightarrow{OA}$: По правилу сложения векторов (правило цепи):
$\overrightarrow{CO} + \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{CA}$.
Вектор $\overrightarrow{CA}$ противоположен вектору $\overrightarrow{AC}$, поэтому $\overrightarrow{CA} = -\overrightarrow{AC} = -(\vec{x} + \vec{y})$.
Ответ: $\overrightarrow{CO} + \overrightarrow{OA} = -\vec{x} - \vec{y}$.

2)

$\overrightarrow{AN}$: Точка $N$ делит сторону $AD$ в отношении $AN : ND = 1:2$, поэтому:
$\overrightarrow{AN} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AD} = \frac{1}{3}\vec{x}$.
Ответ: $\overrightarrow{AN} = \frac{1}{3}\vec{x}$.

$\overrightarrow{NC}$: Выразим вектор $\overrightarrow{NC}$ по правилу треугольника для $\triangle ANC$: $\overrightarrow{NC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AN}$.
$\overrightarrow{NC} = (\vec{x} + \vec{y}) - \frac{1}{3}\vec{x} = (\vec{x} - \frac{1}{3}\vec{x}) + \vec{y} = \frac{2}{3}\vec{x} + \vec{y}$.
Ответ: $\overrightarrow{NC} = \frac{2}{3}\vec{x} + \vec{y}$.

$\overrightarrow{BN}$: Выразим вектор $\overrightarrow{BN}$ по правилу треугольника для $\triangle ABN$: $\overrightarrow{BN} = \overrightarrow{AN} - \overrightarrow{AB}$.
$\overrightarrow{BN} = \frac{1}{3}\vec{x} - \vec{y}$.
Ответ: $\overrightarrow{BN} = \frac{1}{3}\vec{x} - \vec{y}$.

$\overrightarrow{ON}$: Выразим вектор $\overrightarrow{ON}$ по правилу треугольника для $\triangle OAN$: $\overrightarrow{ON} = \overrightarrow{AN} - \overrightarrow{AO}$.
$\overrightarrow{ON} = \frac{1}{3}\vec{x} - \frac{1}{2}(\vec{x} + \vec{y}) = \frac{1}{3}\vec{x} - \frac{1}{2}\vec{x} - \frac{1}{2}\vec{y} = (\frac{2}{6} - \frac{3}{6})\vec{x} - \frac{1}{2}\vec{y} = -\frac{1}{6}\vec{x} - \frac{1}{2}\vec{y}$.
Ответ: $\overrightarrow{ON} = -\frac{1}{6}\vec{x} - \frac{1}{2}\vec{y}$.