Номер 1.55, страница 33 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.55. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, а точка N делит сторону AD в отношении $AN : ND = 1 : 2$. Выразите через векторы $\vec{x} = \vec{AD}$ и $\vec{y} = \vec{AB}$ векторы:

1) $\vec{AC}, \vec{AO}, \vec{CO}, \vec{OD}, \vec{AD} + \vec{BC}, \vec{AD} + \vec{CO}, \vec{CO} + \vec{OA}$;

2) $\vec{AN}, \vec{NC}, \vec{BN}, \vec{ON}$.

Дано: параллелограмм $ABCD$, диагонали пересекаются в точке $O$. Точка $N$ лежит на стороне $AD$ так, что $AN : ND = 1 : 2$. Введены базисные векторы $\vec{x} = \overrightarrow{AD}$ и $\vec{y} = \overrightarrow{AB}$.

Используем свойства векторов и параллелограмма:

1. Противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны, поэтому $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} = \vec{x}$ и $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB} = \vec{y}$.

2. Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам, поэтому $\overrightarrow{AO} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{BO} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BD}$.

3. Точка $N$ делит отрезок $AD$ в отношении $1:2$, значит $\overrightarrow{AN} = \frac{1}{1+2}\overrightarrow{AD} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$.

1)

$\overrightarrow{AC}$: По правилу сложения векторов (правило треугольника для $\triangle ABC$):
$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \vec{y} + \vec{x}$.
Ответ: $\overrightarrow{AC} = \vec{x} + \vec{y}$.

$\overrightarrow{AO}$: Точка $O$ — середина диагонали $AC$, поэтому:
$\overrightarrow{AO} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} = \frac{1}{2}(\vec{x} + \vec{y})$.
Ответ: $\overrightarrow{AO} = \frac{1}{2}\vec{x} + \frac{1}{2}\vec{y}$.

$\overrightarrow{CO}$: Вектор $\overrightarrow{CO}$ противоположен вектору $\overrightarrow{AO}$:
$\overrightarrow{CO} = -\overrightarrow{AO} = -\frac{1}{2}(\vec{x} + \vec{y})$.
Ответ: $\overrightarrow{CO} = -\frac{1}{2}\vec{x} - \frac{1}{2}\vec{y}$.

$\overrightarrow{OD}$: Сначала найдем вектор диагонали $\overrightarrow{BD}$. По правилу треугольника для $\triangle ABD$: $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} = \vec{x} - \vec{y}$.
Точка $O$ — середина диагонали $BD$, поэтому $\overrightarrow{OD} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BD}$.
$\overrightarrow{OD} = \frac{1}{2}(\vec{x} - \vec{y})$.
Ответ: $\overrightarrow{OD} = \frac{1}{2}\vec{x} - \frac{1}{2}\vec{y}$.

$\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC}$: В параллелограмме $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$.
$\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{AD} = 2\vec{x}$.
Ответ: $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} = 2\vec{x}$.

$\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CO}$: Подставим ранее найденные выражения:
$\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CO} = \vec{x} + (-\frac{1}{2}(\vec{x} + \vec{y})) = \vec{x} - \frac{1}{2}\vec{x} - \frac{1}{2}\vec{y} = \frac{1}{2}\vec{x} - \frac{1}{2}\vec{y}$.
Ответ: $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CO} = \frac{1}{2}\vec{x} - \frac{1}{2}\vec{y}$.

$\overrightarrow{CO} + \overrightarrow{OA}$: По правилу сложения векторов (правило цепи):
$\overrightarrow{CO} + \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{CA}$.
Вектор $\overrightarrow{CA}$ противоположен вектору $\overrightarrow{AC}$, поэтому $\overrightarrow{CA} = -\overrightarrow{AC} = -(\vec{x} + \vec{y})$.
Ответ: $\overrightarrow{CO} + \overrightarrow{OA} = -\vec{x} - \vec{y}$.

2)

$\overrightarrow{AN}$: Точка $N$ делит сторону $AD$ в отношении $AN : ND = 1:2$, поэтому:
$\overrightarrow{AN} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AD} = \frac{1}{3}\vec{x}$.
Ответ: $\overrightarrow{AN} = \frac{1}{3}\vec{x}$.

$\overrightarrow{NC}$: Выразим вектор $\overrightarrow{NC}$ по правилу треугольника для $\triangle ANC$: $\overrightarrow{NC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AN}$.
$\overrightarrow{NC} = (\vec{x} + \vec{y}) - \frac{1}{3}\vec{x} = (\vec{x} - \frac{1}{3}\vec{x}) + \vec{y} = \frac{2}{3}\vec{x} + \vec{y}$.
Ответ: $\overrightarrow{NC} = \frac{2}{3}\vec{x} + \vec{y}$.

$\overrightarrow{BN}$: Выразим вектор $\overrightarrow{BN}$ по правилу треугольника для $\triangle ABN$: $\overrightarrow{BN} = \overrightarrow{AN} - \overrightarrow{AB}$.
$\overrightarrow{BN} = \frac{1}{3}\vec{x} - \vec{y}$.
Ответ: $\overrightarrow{BN} = \frac{1}{3}\vec{x} - \vec{y}$.

$\overrightarrow{ON}$: Выразим вектор $\overrightarrow{ON}$ по правилу треугольника для $\triangle OAN$: $\overrightarrow{ON} = \overrightarrow{AN} - \overrightarrow{AO}$.
$\overrightarrow{ON} = \frac{1}{3}\vec{x} - \frac{1}{2}(\vec{x} + \vec{y}) = \frac{1}{3}\vec{x} - \frac{1}{2}\vec{x} - \frac{1}{2}\vec{y} = (\frac{2}{6} - \frac{3}{6})\vec{x} - \frac{1}{2}\vec{y} = -\frac{1}{6}\vec{x} - \frac{1}{2}\vec{y}$.
Ответ: $\overrightarrow{ON} = -\frac{1}{6}\vec{x} - \frac{1}{2}\vec{y}$.