Номер 1.57, страница 34 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.57. Даны точки А и В. Определите точку Х так, чтобы:

1) $ \vec{XA} = 3 \vec{XB} $;

2) $ \vec{BX} = - \vec{AX} $;

3) $ \vec{XA} + \vec{XB} = \vec{AB} $.

1) $\vec{XA} = 3\vec{XB}$

Для определения положения точки $X$ воспользуемся векторным методом. Пусть $O$ — произвольная точка (начало координат), а $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{x}$ — радиус-векторы точек $A$, $B$, $X$ соответственно, то есть $\vec{a} = \vec{OA}$, $\vec{b} = \vec{OB}$, $\vec{x} = \vec{OX}$. Векторы $\vec{XA}$ и $\vec{XB}$ можно выразить через радиус-векторы их конечных и начальных точек: $\vec{XA} = \vec{a} - \vec{x}$ и $\vec{XB} = \vec{b} - \vec{x}$.

Подставим эти выражения в исходное уравнение и решим его относительно $\vec{x}$:
$\vec{a} - \vec{x} = 3(\vec{b} - \vec{x})$
$\vec{a} - \vec{x} = 3\vec{b} - 3\vec{x}$
$3\vec{x} - \vec{x} = 3\vec{b} - \vec{a}$
$2\vec{x} = 3\vec{b} - \vec{a}$
$\vec{x} = \frac{3\vec{b} - \vec{a}}{2}$

Это выражение определяет радиус-вектор точки $X$. Чтобы понять геометрическое положение точки $X$ относительно $A$ и $B$, выразим вектор $\vec{AX}$ через $\vec{AB}$:
$\vec{AX} = \vec{x} - \vec{a} = \frac{3\vec{b} - \vec{a}}{2} - \vec{a} = \frac{3\vec{b} - \vec{a} - 2\vec{a}}{2} = \frac{3\vec{b} - 3\vec{a}}{2} = \frac{3}{2}(\vec{b} - \vec{a}) = \frac{3}{2}\vec{AB}$.

Из соотношения $\vec{AX} = \frac{3}{2}\vec{AB}$ следует, что точки $A$, $B$ и $X$ лежат на одной прямой. Точка $X$ расположена на этой прямой так, что вектор $\vec{AX}$ сонаправлен вектору $\vec{AB}$ и его длина в 1,5 раза больше длины вектора $\vec{AB}$. Это означает, что точка $B$ находится между точками $A$ и $X$, причем расстояние $|BX|$ равно половине расстояния $|AB|$.

Ответ: Точка $X$ лежит на прямой $AB$ за точкой $B$ (если смотреть от $A$), так что расстояние $|BX|$ составляет половину расстояния $|AB|$. Векторно это положение определяется формулой $\vec{OX} = \frac{3\vec{OB} - \vec{OA}}{2}$.

2) $\vec{BX} = -\vec{AX}$

Выразим векторы через радиус-векторы точек: $\vec{BX} = \vec{x} - \vec{b}$ и $\vec{AX} = \vec{x} - \vec{a}$. Подставим в уравнение:
$\vec{x} - \vec{b} = -(\vec{x} - \vec{a})$
$\vec{x} - \vec{b} = -\vec{x} + \vec{a}$
$2\vec{x} = \vec{a} + \vec{b}$
$\vec{x} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$

Это формула радиус-вектора середины отрезка. Таким образом, точка $X$ является серединой отрезка $AB$. Исходное уравнение $\vec{BX} = -\vec{AX}$ можно переписать как $\vec{XB} = \vec{AX}$, что является векторным определением середины отрезка $AB$.

Ответ: Точка $X$ является серединой отрезка $AB$.

3) $\vec{XA} + \vec{XB} = \vec{AB}$

Используем радиус-векторы: $\vec{XA} = \vec{a} - \vec{x}$, $\vec{XB} = \vec{b} - \vec{x}$, $\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$.
Подставляем эти выражения в исходное равенство и решаем относительно $\vec{x}$:
$(\vec{a} - \vec{x}) + (\vec{b} - \vec{x}) = \vec{b} - \vec{a}$
$\vec{a} + \vec{b} - 2\vec{x} = \vec{b} - \vec{a}$
$-2\vec{x} = \vec{b} - \vec{a} - \vec{a} - \vec{b}$
$-2\vec{x} = -2\vec{a}$
$\vec{x} = \vec{a}$

Равенство радиус-векторов $\vec{x} = \vec{a}$ означает, что точка $X$ совпадает с точкой $A$. Проверим это, подставив $X=A$ в исходное уравнение: $\vec{AA} + \vec{AB} = \vec{AB}$. Поскольку $\vec{AA}$ — это нулевой вектор ($\vec{0}$), получаем тождество $\vec{0} + \vec{AB} = \vec{AB}$, что верно.

Ответ: Точка $X$ совпадает с точкой $A$.