Номер 1.52, страница 33 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.52. В параллелограмме $ABCD$ точка $O$ является точкой пересечения его диагоналей, а точка $E$ – серединой стороны $CD$. Выразите векторы:

1) $\vec{OA}$;

2) $\vec{AE}$

через векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$.

Для решения задачи представим параллелограмм $ABCD$ и указанные на нем точки.

1) $\vec{OA}$

В параллелограмме $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам. Следовательно, точка $O$ является серединой диагонали $AC$.

Это означает, что вектор $\vec{AO}$ составляет половину вектора $\vec{AC}$, то есть $\vec{AO} = \frac{1}{2}\vec{AC}$.

Вектор $\vec{OA}$ имеет то же направление, что и $\vec{CA}$, и противоположен вектору $\vec{AC}$. Таким образом, $\vec{OA} = -\vec{AO} = -\frac{1}{2}\vec{AC}$.

По правилу параллелограмма для сложения векторов, вектор диагонали $\vec{AC}$ равен сумме векторов смежных сторон, исходящих из той же вершины: $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$.

Подставим полученное выражение для $\vec{AC}$ в формулу для $\vec{OA}$:

$\vec{OA} = -\frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AD}) = -\frac{1}{2}\vec{AB} - \frac{1}{2}\vec{AD}$.

Ответ: $\vec{OA} = -\frac{1}{2}\vec{AB} - \frac{1}{2}\vec{AD}$.

2) $\vec{AE}$

Чтобы найти вектор $\vec{AE}$, воспользуемся правилом сложения векторов (правило треугольника). Мы можем двигаться из точки $A$ в точку $D$, а затем из $D$ в $E$.

$\vec{AE} = \vec{AD} + \vec{DE}$.

По условию, точка $E$ — середина стороны $CD$. Следовательно, вектор $\vec{DE}$ равен половине вектора $\vec{DC}$: $\vec{DE} = \frac{1}{2}\vec{DC}$.

В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны $AB$ и $DC$ параллельны и равны по длине, поэтому векторы, их представляющие, равны: $\vec{DC} = \vec{AB}$.

Подставим это равенство в выражение для $\vec{DE}$:

$\vec{DE} = \frac{1}{2}\vec{AB}$.

Теперь подставим полученное выражение для $\vec{DE}$ в исходную формулу для $\vec{AE}$:

$\vec{AE} = \vec{AD} + \frac{1}{2}\vec{AB}$.

Ответ: $\vec{AE} = \vec{AD} + \frac{1}{2}\vec{AB}$.