Номер 1.56, страница 34 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.56. Определите расположение векторов $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ относительно друг друга, если выполняется равенство:

1) $ |\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}| $;

2) $ |\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}| - |\vec{b}| $;

3) $ |2\vec{a} - 3\vec{b}| = 2|\vec{a}| + 3|\vec{b}| $.

1) Дано равенство $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$. Это равенство является случаем, когда в неравенстве треугольника $|\vec{a} + \vec{b}| \leq |\vec{a}| + |\vec{b}|$ достигается знак равенства. Геометрически это происходит тогда и только тогда, когда векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены.
Докажем это алгебраически. Возведем обе части равенства в квадрат:
$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = (|\vec{a}| + |\vec{b}|)^2$
Распишем левую часть, используя свойство скалярного произведения, согласно которому квадрат модуля вектора равен скалярному квадрату этого вектора ($|\vec{c}|^2 = \vec{c} \cdot \vec{c}$):
$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$.
Правая часть после раскрытия скобок равна: $|\vec{a}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}| + |\vec{b}|^2$.
Приравнивая левую и правую части, получаем:
$|\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}| + |\vec{b}|^2$
После упрощения получаем:
$2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 2|\vec{a}||\vec{b}|$, или $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|$.
По определению скалярного произведения, $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\alpha$, где $\alpha$ — угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$.
Следовательно, $|\vec{a}||\vec{b}|\cos\alpha = |\vec{a}||\vec{b}|$.
Если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ ненулевые, то можно разделить обе части на $|\vec{a}||\vec{b}|$, получив $\cos\alpha = 1$. Это означает, что угол $\alpha$ равен $0^\circ$. Если один из векторов является нулевым, равенство также выполняется, а нулевой вектор по определению сонаправлен любому другому вектору.
Ответ: векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены (коллинеарны и направлены в одну сторону).

2) Дано равенство $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}| - |\vec{b}|$. Следует отметить, что для того, чтобы это равенство имело смысл, правая часть должна быть неотрицательной, то есть $|\vec{a}| \ge |\vec{b}|$.
Возведем обе части равенства в квадрат:
$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = (|\vec{a}| - |\vec{b}|)^2$
Распишем левую и правую части:
$|\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}| + |\vec{b}|^2$
После упрощения получаем:
$2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = -2|\vec{a}||\vec{b}|$, или $\vec{a} \cdot \vec{b} = -|\vec{a}||\vec{b}|$.
Используя определение скалярного произведения $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\alpha$, имеем:
$|\vec{a}||\vec{b}|\cos\alpha = -|\vec{a}||\vec{b}|$.
Если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ ненулевые, то $\cos\alpha = -1$. Это означает, что угол $\alpha$ равен $\pi$ ($180^\circ$). Если вектор $\vec{b}$ нулевой, равенство также выполняется, и можно считать, что векторы противоположно направлены.
Ответ: векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены (коллинеарны и направлены в разные стороны).

3) Дано равенство $|2\vec{a} - 3\vec{b}| = 2|\vec{a}| + 3|\vec{b}|$.
Можно решить эту задачу по аналогии с пунктом 1. Заметим, что $2|\vec{a}| = |2\vec{a}|$ и $3|\vec{b}| = |-3\vec{b}|$. Тогда равенство можно переписать в виде:
$|2\vec{a} + (-3\vec{b})| = |2\vec{a}| + |-3\vec{b}|$.
Это выражение имеет форму $|\vec{u} + \vec{v}| = |\vec{u}| + |\vec{v}|$, где $\vec{u} = 2\vec{a}$ и $\vec{v} = -3\vec{b}$. Как было показано в пункте 1, такое равенство выполняется тогда и только тогда, когда векторы $\vec{u}$ и $\vec{v}$ сонаправлены.
Следовательно, вектор $2\vec{a}$ сонаправлен вектору $-3\vec{b}$. Вектор $2\vec{a}$ имеет то же направление, что и $\vec{a}$, а вектор $-3\vec{b}$ имеет направление, противоположное вектору $\vec{b}$. Таким образом, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ должны быть противоположно направлены.
Проведем также алгебраическое доказательство. Возведем исходное равенство в квадрат:
$|2\vec{a} - 3\vec{b}|^2 = (2|\vec{a}| + 3|\vec{b}|)^2$
$(2\vec{a} - 3\vec{b}) \cdot (2\vec{a} - 3\vec{b}) = (2|\vec{a}|)^2 + 2(2|\vec{a}|)(3|\vec{b}|) + (3|\vec{b}|)^2$
$4(\vec{a} \cdot \vec{a}) - 12(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 9(\vec{b} \cdot \vec{b}) = 4|\vec{a}|^2 + 12|\vec{a}||\vec{b}| + 9|\vec{b}|^2$
$4|\vec{a}|^2 - 12(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 9|\vec{b}|^2 = 4|\vec{a}|^2 + 12|\vec{a}||\vec{b}| + 9|\vec{b}|^2$
$-12(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 12|\vec{a}||\vec{b}|$
$\vec{a} \cdot \vec{b} = -|\vec{a}||\vec{b}|$
$|\vec{a}||\vec{b}|\cos\alpha = -|\vec{a}||\vec{b}|$.
Для ненулевых векторов это означает, что $\cos\alpha = -1$, то есть $\alpha = \pi$.
Ответ: векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены.