Страница 34 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.56. Определите расположение векторов $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ относительно друг друга, если выполняется равенство:

1) $ |\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}| $;

2) $ |\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}| - |\vec{b}| $;

3) $ |2\vec{a} - 3\vec{b}| = 2|\vec{a}| + 3|\vec{b}| $.

1) Дано равенство $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$. Это равенство является случаем, когда в неравенстве треугольника $|\vec{a} + \vec{b}| \leq |\vec{a}| + |\vec{b}|$ достигается знак равенства. Геометрически это происходит тогда и только тогда, когда векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены.
Докажем это алгебраически. Возведем обе части равенства в квадрат:
$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = (|\vec{a}| + |\vec{b}|)^2$
Распишем левую часть, используя свойство скалярного произведения, согласно которому квадрат модуля вектора равен скалярному квадрату этого вектора ($|\vec{c}|^2 = \vec{c} \cdot \vec{c}$):
$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$.
Правая часть после раскрытия скобок равна: $|\vec{a}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}| + |\vec{b}|^2$.
Приравнивая левую и правую части, получаем:
$|\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}| + |\vec{b}|^2$
После упрощения получаем:
$2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 2|\vec{a}||\vec{b}|$, или $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|$.
По определению скалярного произведения, $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\alpha$, где $\alpha$ — угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$.
Следовательно, $|\vec{a}||\vec{b}|\cos\alpha = |\vec{a}||\vec{b}|$.
Если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ ненулевые, то можно разделить обе части на $|\vec{a}||\vec{b}|$, получив $\cos\alpha = 1$. Это означает, что угол $\alpha$ равен $0^\circ$. Если один из векторов является нулевым, равенство также выполняется, а нулевой вектор по определению сонаправлен любому другому вектору.
Ответ: векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены (коллинеарны и направлены в одну сторону).

2) Дано равенство $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}| - |\vec{b}|$. Следует отметить, что для того, чтобы это равенство имело смысл, правая часть должна быть неотрицательной, то есть $|\vec{a}| \ge |\vec{b}|$.
Возведем обе части равенства в квадрат:
$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = (|\vec{a}| - |\vec{b}|)^2$
Распишем левую и правую части:
$|\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}| + |\vec{b}|^2$
После упрощения получаем:
$2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = -2|\vec{a}||\vec{b}|$, или $\vec{a} \cdot \vec{b} = -|\vec{a}||\vec{b}|$.
Используя определение скалярного произведения $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\alpha$, имеем:
$|\vec{a}||\vec{b}|\cos\alpha = -|\vec{a}||\vec{b}|$.
Если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ ненулевые, то $\cos\alpha = -1$. Это означает, что угол $\alpha$ равен $\pi$ ($180^\circ$). Если вектор $\vec{b}$ нулевой, равенство также выполняется, и можно считать, что векторы противоположно направлены.
Ответ: векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены (коллинеарны и направлены в разные стороны).

3) Дано равенство $|2\vec{a} - 3\vec{b}| = 2|\vec{a}| + 3|\vec{b}|$.
Можно решить эту задачу по аналогии с пунктом 1. Заметим, что $2|\vec{a}| = |2\vec{a}|$ и $3|\vec{b}| = |-3\vec{b}|$. Тогда равенство можно переписать в виде:
$|2\vec{a} + (-3\vec{b})| = |2\vec{a}| + |-3\vec{b}|$.
Это выражение имеет форму $|\vec{u} + \vec{v}| = |\vec{u}| + |\vec{v}|$, где $\vec{u} = 2\vec{a}$ и $\vec{v} = -3\vec{b}$. Как было показано в пункте 1, такое равенство выполняется тогда и только тогда, когда векторы $\vec{u}$ и $\vec{v}$ сонаправлены.
Следовательно, вектор $2\vec{a}$ сонаправлен вектору $-3\vec{b}$. Вектор $2\vec{a}$ имеет то же направление, что и $\vec{a}$, а вектор $-3\vec{b}$ имеет направление, противоположное вектору $\vec{b}$. Таким образом, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ должны быть противоположно направлены.
Проведем также алгебраическое доказательство. Возведем исходное равенство в квадрат:
$|2\vec{a} - 3\vec{b}|^2 = (2|\vec{a}| + 3|\vec{b}|)^2$
$(2\vec{a} - 3\vec{b}) \cdot (2\vec{a} - 3\vec{b}) = (2|\vec{a}|)^2 + 2(2|\vec{a}|)(3|\vec{b}|) + (3|\vec{b}|)^2$
$4(\vec{a} \cdot \vec{a}) - 12(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 9(\vec{b} \cdot \vec{b}) = 4|\vec{a}|^2 + 12|\vec{a}||\vec{b}| + 9|\vec{b}|^2$
$4|\vec{a}|^2 - 12(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 9|\vec{b}|^2 = 4|\vec{a}|^2 + 12|\vec{a}||\vec{b}| + 9|\vec{b}|^2$
$-12(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 12|\vec{a}||\vec{b}|$
$\vec{a} \cdot \vec{b} = -|\vec{a}||\vec{b}|$
$|\vec{a}||\vec{b}|\cos\alpha = -|\vec{a}||\vec{b}|$.
Для ненулевых векторов это означает, что $\cos\alpha = -1$, то есть $\alpha = \pi$.
Ответ: векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены.

1.57. Даны точки А и В. Определите точку Х так, чтобы:

1) $ \vec{XA} = 3 \vec{XB} $;

2) $ \vec{BX} = - \vec{AX} $;

3) $ \vec{XA} + \vec{XB} = \vec{AB} $.

1) $\vec{XA} = 3\vec{XB}$

Для определения положения точки $X$ воспользуемся векторным методом. Пусть $O$ — произвольная точка (начало координат), а $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{x}$ — радиус-векторы точек $A$, $B$, $X$ соответственно, то есть $\vec{a} = \vec{OA}$, $\vec{b} = \vec{OB}$, $\vec{x} = \vec{OX}$. Векторы $\vec{XA}$ и $\vec{XB}$ можно выразить через радиус-векторы их конечных и начальных точек: $\vec{XA} = \vec{a} - \vec{x}$ и $\vec{XB} = \vec{b} - \vec{x}$.

Подставим эти выражения в исходное уравнение и решим его относительно $\vec{x}$:
$\vec{a} - \vec{x} = 3(\vec{b} - \vec{x})$
$\vec{a} - \vec{x} = 3\vec{b} - 3\vec{x}$
$3\vec{x} - \vec{x} = 3\vec{b} - \vec{a}$
$2\vec{x} = 3\vec{b} - \vec{a}$
$\vec{x} = \frac{3\vec{b} - \vec{a}}{2}$

Это выражение определяет радиус-вектор точки $X$. Чтобы понять геометрическое положение точки $X$ относительно $A$ и $B$, выразим вектор $\vec{AX}$ через $\vec{AB}$:
$\vec{AX} = \vec{x} - \vec{a} = \frac{3\vec{b} - \vec{a}}{2} - \vec{a} = \frac{3\vec{b} - \vec{a} - 2\vec{a}}{2} = \frac{3\vec{b} - 3\vec{a}}{2} = \frac{3}{2}(\vec{b} - \vec{a}) = \frac{3}{2}\vec{AB}$.

Из соотношения $\vec{AX} = \frac{3}{2}\vec{AB}$ следует, что точки $A$, $B$ и $X$ лежат на одной прямой. Точка $X$ расположена на этой прямой так, что вектор $\vec{AX}$ сонаправлен вектору $\vec{AB}$ и его длина в 1,5 раза больше длины вектора $\vec{AB}$. Это означает, что точка $B$ находится между точками $A$ и $X$, причем расстояние $|BX|$ равно половине расстояния $|AB|$.

Ответ: Точка $X$ лежит на прямой $AB$ за точкой $B$ (если смотреть от $A$), так что расстояние $|BX|$ составляет половину расстояния $|AB|$. Векторно это положение определяется формулой $\vec{OX} = \frac{3\vec{OB} - \vec{OA}}{2}$.

2) $\vec{BX} = -\vec{AX}$

Выразим векторы через радиус-векторы точек: $\vec{BX} = \vec{x} - \vec{b}$ и $\vec{AX} = \vec{x} - \vec{a}$. Подставим в уравнение:
$\vec{x} - \vec{b} = -(\vec{x} - \vec{a})$
$\vec{x} - \vec{b} = -\vec{x} + \vec{a}$
$2\vec{x} = \vec{a} + \vec{b}$
$\vec{x} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$

Это формула радиус-вектора середины отрезка. Таким образом, точка $X$ является серединой отрезка $AB$. Исходное уравнение $\vec{BX} = -\vec{AX}$ можно переписать как $\vec{XB} = \vec{AX}$, что является векторным определением середины отрезка $AB$.

Ответ: Точка $X$ является серединой отрезка $AB$.

3) $\vec{XA} + \vec{XB} = \vec{AB}$

Используем радиус-векторы: $\vec{XA} = \vec{a} - \vec{x}$, $\vec{XB} = \vec{b} - \vec{x}$, $\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$.
Подставляем эти выражения в исходное равенство и решаем относительно $\vec{x}$:
$(\vec{a} - \vec{x}) + (\vec{b} - \vec{x}) = \vec{b} - \vec{a}$
$\vec{a} + \vec{b} - 2\vec{x} = \vec{b} - \vec{a}$
$-2\vec{x} = \vec{b} - \vec{a} - \vec{a} - \vec{b}$
$-2\vec{x} = -2\vec{a}$
$\vec{x} = \vec{a}$

Равенство радиус-векторов $\vec{x} = \vec{a}$ означает, что точка $X$ совпадает с точкой $A$. Проверим это, подставив $X=A$ в исходное уравнение: $\vec{AA} + \vec{AB} = \vec{AB}$. Поскольку $\vec{AA}$ — это нулевой вектор ($\vec{0}$), получаем тождество $\vec{0} + \vec{AB} = \vec{AB}$, что верно.

Ответ: Точка $X$ совпадает с точкой $A$.

1.58. Точка $O$ — середина медианы $AD$ треугольника $ABC$.

Выразите вектор $\vec{AO}$ через векторы $\vec{a} = \vec{BA}$ и $\vec{b} = \vec{BC}$.

Для решения данной задачи воспользуемся правилами действий с векторами и определениями медианы и середины отрезка.

Дано, что $AD$ — медиана треугольника $ABC$. По определению медианы, точка $D$ является серединой стороны $BC$. Следовательно, вектор $\vec{BD}$ равен половине вектора $\vec{BC}$:$\vec{BD} = \frac{1}{2}\vec{BC}$

Также по условию, точка $O$ — середина медианы $AD$. Это означает, что вектор $\vec{AO}$ равен половине вектора $\vec{AD}$:$\vec{AO} = \frac{1}{2}\vec{AD}$

Чтобы найти вектор $\vec{AO}$, нам сперва нужно выразить вектор $\vec{AD}$ через заданные векторы $\vec{a} = \vec{BA}$ и $\vec{b} = \vec{BC}$. Для этого воспользуемся правилом треугольника для сложения векторов, применив его к ломаной $ABD$:$\vec{AD} = \vec{AB} + \vec{BD}$

Теперь выразим векторы $\vec{AB}$ и $\vec{BD}$ через $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

1. Вектор $\vec{AB}$ является противоположным вектору $\vec{BA}$. Таким образом:$\vec{AB} = -\vec{BA} = -\vec{a}$

2. Вектор $\vec{BD}$ составляет половину вектора $\vec{BC}$:$\vec{BD} = \frac{1}{2}\vec{BC} = \frac{1}{2}\vec{b}$

Теперь подставим полученные выражения для векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BD}$ в формулу для вектора $\vec{AD}$:$\vec{AD} = (-\vec{a}) + \frac{1}{2}\vec{b} = -\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$

Наконец, найдем искомый вектор $\vec{AO}$, подставив в его выражение найденное выражение для $\vec{AD}$:$\vec{AO} = \frac{1}{2}\vec{AD} = \frac{1}{2}\left(-\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}\right)$

Раскроем скобки и получим окончательный ответ:$\vec{AO} = -\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b}$

Геометрическая иллюстрация задачи:

Ответ: $\vec{AO} = -\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b}$

1.59. Выбрана точка H на стороне BC параллелограмма ABCD так, что выполняется соотношение $BH : HC = 1 : 4$. Выразите векторы $\vec{AH}$, $\vec{HD}$ через $\vec{AB}=\vec{a}$ и $\vec{AD}=\vec{b}$.

По условию задачи дан параллелограмм $ABCD$. На стороне $BC$ выбрана точка $H$ таким образом, что отношение отрезков $BH : HC = 1 : 4$. Введены базисные векторы $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{AD} = \vec{b}$. Необходимо выразить векторы $\vec{AH}$ и $\vec{HD}$ через векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Для наглядности решения построим чертеж.

Выражение вектора $\vec{AH}$
Вектор $\vec{AH}$ можно представить как сумму векторов по правилу треугольника, пройдя из точки A в точку B, а затем в точку H: $\vec{AH} = \vec{AB} + \vec{BH}$.
По условию задачи, нам дан вектор $\vec{AB} = \vec{a}$.
Теперь найдем вектор $\vec{BH}$. Точка H лежит на стороне BC и делит ее в отношении $BH : HC = 1 : 4$. Это означает, что длина отрезка BH составляет $\frac{1}{1+4} = \frac{1}{5}$ от длины всей стороны BC. Так как точка H находится между B и C, вектор $\vec{BH}$ сонаправлен вектору $\vec{BC}$. Следовательно, мы можем записать: $\vec{BH} = \frac{1}{5} \vec{BC}$.
В параллелограмме противолежащие стороны параллельны и равны, поэтому векторы, их представляющие, равны: $\vec{BC} = \vec{AD}$.
Из условия мы знаем, что $\vec{AD} = \vec{b}$. Значит, $\vec{BC} = \vec{b}$.
Подставляя это в выражение для $\vec{BH}$, получаем: $\vec{BH} = \frac{1}{5} \vec{b}$.
Теперь мы можем собрать все вместе для нахождения вектора $\vec{AH}$:
$\vec{AH} = \vec{AB} + \vec{BH} = \vec{a} + \frac{1}{5} \vec{b}$.

Ответ: $\vec{AH} = \vec{a} + \frac{1}{5}\vec{b}$.

Выражение вектора $\vec{HD}$
Для нахождения вектора $\vec{HD}$ можно использовать правило разности векторов, выходящих из одной точки (например, A): $\vec{HD} = \vec{AD} - \vec{AH}$.
Вектор $\vec{AD}$ нам дан по условию: $\vec{AD} = \vec{b}$.
Вектор $\vec{AH}$ мы уже нашли в предыдущем пункте: $\vec{AH} = \vec{a} + \frac{1}{5}\vec{b}$.
Подставим известные векторы в формулу:
$\vec{HD} = \vec{b} - \left(\vec{a} + \frac{1}{5}\vec{b}\right) = \vec{b} - \vec{a} - \frac{1}{5}\vec{b}$.
Сгруппируем слагаемые с вектором $\vec{b}$:
$\vec{HD} = \left(1 - \frac{1}{5}\right)\vec{b} - \vec{a} = \frac{4}{5}\vec{b} - \vec{a}$.

Проверка другим способом:
Выразим $\vec{HD}$ по правилу многоугольника через путь H-C-D: $\vec{HD} = \vec{HC} + \vec{CD}$.
Из соотношения $BH : HC = 1 : 4$ следует, что $\vec{HC} = \frac{4}{5}\vec{BC} = \frac{4}{5}\vec{AD} = \frac{4}{5}\vec{b}$.
В параллелограмме $\vec{CD} = \vec{BA} = -\vec{AB} = -\vec{a}$.
Следовательно, $\vec{HD} = \frac{4}{5}\vec{b} + (-\vec{a}) = \frac{4}{5}\vec{b} - \vec{a}$.
Результаты совпадают.

Ответ: $\vec{HD} = \frac{4}{5}\vec{b} - \vec{a}$.

1.60. На стороне QR ромба PQRT взята точка K так, чтобы выполнялось равенство $QK=5 \cdot KR$, а точка E является серединой стороны PQ. Выразите векторы $\vec{TK}$ и $\vec{KE}$ через векторы $\vec{TP}=\vec{m}$ и $\vec{TR}=\vec{n}$.

По условию задачи, PQRT – это ромб, вершины которого перечислены последовательно. Определим векторы сторон ромба через заданные базисные векторы $\vec{TP} = \vec{m}$ и $\vec{TR} = \vec{n}$. В параллелограмме (и, в частности, в ромбе) противолежащие стороны параллельны и равны. Для ромба PQRT стороны PQ и RT являются противолежащими, следовательно, векторы, их представляющие, связаны соотношением $\vec{PQ} = -\vec{RT} = \vec{TR}$. Таким образом, $\vec{PQ} = \vec{n}$. Аналогично, стороны QR и TP являются противолежащими, следовательно, $\vec{QR} = \vec{PT}$. Так как $\vec{PT} = -\vec{TP}$, получаем $\vec{QR} = -\vec{TP} = -\vec{m}$.

Таким образом, мы выразили векторы сторон ромба через $\vec{m}$ и $\vec{n}$: $\vec{PQ} = \vec{n}$ и $\vec{QR} = -\vec{m}$. Поскольку это ромб, длины всех сторон равны, что означает $|\vec{PQ}| = |\vec{QR}|$, и следовательно, $|\vec{n}| = |-\vec{m}| = |\vec{m}|$.

Выразим вектор $\vec{TK}$

Точка K лежит на стороне QR, причем выполняется равенство $QK = 5 \cdot KR$. Это означает, что точка K делит отрезок QR в отношении 5:1, считая от точки Q. Длина всего отрезка $QR = QK + KR = 5KR + KR = 6KR$.

Векторы $\vec{QK}$ и $\vec{KR}$ коллинеарны вектору $\vec{QR}$ и направлены в ту же сторону. Следовательно, мы можем записать $\vec{KR} = \frac{1}{6}\vec{QR}$.

Подставим ранее найденное выражение для $\vec{QR} = -\vec{m}$:

$\vec{KR} = \frac{1}{6}(-\vec{m}) = -\frac{1}{6}\vec{m}$

Для нахождения вектора $\vec{TK}$ воспользуемся правилом сложения векторов (правилом многоугольника), пройдя по маршруту T → R → K:

$\vec{TK} = \vec{TR} + \vec{RK}$

Нам известен вектор $\vec{TR} = \vec{n}$. Вектор $\vec{RK}$ противоположен вектору $\vec{KR}$:

$\vec{RK} = -\vec{KR} = -(-\frac{1}{6}\vec{m}) = \frac{1}{6}\vec{m}$

Теперь подставим все в формулу для $\vec{TK}$:

$\vec{TK} = \vec{n} + \frac{1}{6}\vec{m}$

Ответ: $\vec{TK} = \frac{1}{6}\vec{m} + \vec{n}$.

Выразим вектор $\vec{KE}$

Точка E является серединой стороны PQ. Это означает, что $\vec{QE} = \frac{1}{2}\vec{QP}$.

Для нахождения вектора $\vec{KE}$ выберем путь K → Q → E:

$\vec{KE} = \vec{KQ} + \vec{QE}$

Найдем векторы $\vec{KQ}$ и $\vec{QE}$. Из соотношения $QK=5KR$ следует, что $\vec{QK} = \frac{5}{6}\vec{QR} = \frac{5}{6}(-\vec{m}) = -\frac{5}{6}\vec{m}$. Тогда:

$\vec{KQ} = -\vec{QK} = -(-\frac{5}{6}\vec{m}) = \frac{5}{6}\vec{m}$

Вектор $\vec{QP}$ противоположен вектору $\vec{PQ}$:

$\vec{QP} = -\vec{PQ} = -\vec{n}$

Следовательно, $\vec{QE} = \frac{1}{2}\vec{QP} = \frac{1}{2}(-\vec{n}) = -\frac{1}{2}\vec{n}$.

Подставим найденные векторы в выражение для $\vec{KE}$:

$\vec{KE} = \frac{5}{6}\vec{m} - \frac{1}{2}\vec{n}$

Ответ: $\vec{KE} = \frac{5}{6}\vec{m} - \frac{1}{2}\vec{n}$.

1.61. Точки P и O — середины диагоналей AC и BD в четырехугольнике ABCD. Докажите, что $\vec{PO} = \frac{1}{2}(\vec{AD} + \vec{CB})$.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся векторным методом. Пусть $A$, $B$, $C$, $D$ — вершины четырехугольника, а $P$ и $O$ — середины диагоналей $AC$ и $BD$ соответственно.

Рассмотрим произвольный четырехугольник $ABCD$ и векторы, участвующие в задаче.

Доказательство:

Выразим вектор $\vec{PO}$ двумя различными способами, используя правило сложения векторов (правило многоугольника):

1. Через вершины $A$ и $D$: $\vec{PO} = \vec{PA} + \vec{AD} + \vec{DO}$

2. Через вершины $C$ и $B$: $\vec{PO} = \vec{PC} + \vec{CB} + \vec{BO}$

Сложим левые и правые части этих двух векторных равенств:

$\vec{PO} + \vec{PO} = (\vec{PA} + \vec{AD} + \vec{DO}) + (\vec{PC} + \vec{CB} + \vec{BO})$

Сгруппируем слагаемые в правой части:

$2\vec{PO} = (\vec{AD} + \vec{CB}) + (\vec{PA} + \vec{PC}) + (\vec{DO} + \vec{BO})$

Рассмотрим суммы векторов в скобках. По определению середины отрезка:

Поскольку точка $P$ — середина диагонали $AC$, векторы $\vec{PA}$ и $\vec{PC}$ равны по длине и противоположны по направлению. Следовательно, их сумма равна нулевому вектору:

$\vec{PA} + \vec{PC} = \vec{0}$

Аналогично, поскольку точка $O$ — середина диагонали $BD$, векторы $\vec{OB}$ и $\vec{OD}$ также в сумме дают нулевой вектор. В нашем выражении стоит сумма $\vec{DO} + \vec{BO}$. Так как $\vec{DO} = -\vec{OD}$ и $\vec{BO} = -\vec{OB}$, получаем:

$\vec{DO} + \vec{BO} = -\vec{OD} - \vec{OB} = -(\vec{OD} + \vec{OB}) = \vec{0}$

Подставим полученные результаты (нулевые векторы) обратно в сгруппированное уравнение:

$2\vec{PO} = (\vec{AD} + \vec{CB}) + \vec{0} + \vec{0}$

$2\vec{PO} = \vec{AD} + \vec{CB}$

Разделив обе части равенства на 2, получим то, что требовалось доказать:

$\vec{PO} = \frac{1}{2}(\vec{AD} + \vec{CB})$

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Равенство $\vec{PO} = \frac{1}{2}(\vec{AD} + \vec{CB})$ доказано с помощью векторного сложения.

1.62. Покажите, что можно построить треугольник, стороны которого равны медианам треугольника $ABC$ и параллельны этим медианам.

Для доказательства этого утверждения можно использовать два подхода: один основан на векторной алгебре, а другой — на геометрическом построении.

Доказательство с использованием векторов

Пусть вершины треугольника $ABC$ заданы радиус-векторами $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ соответственно. Пусть $A_1$, $B_1$, $C_1$ — середины сторон $BC$, $CA$ и $AB$. Их радиус-векторы равны: $\vec{a_1} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$, $\vec{b_1} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2}$, $\vec{c_1} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$.

Медианы треугольника $ABC$ можно представить в виде векторов (обозначим их $\vec{m_a}$, $\vec{m_b}$, $\vec{m_c}$): $\vec{m_a} = \vec{AA_1} = \vec{a_1} - \vec{a} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} - \vec{a}$ $\vec{m_b} = \vec{BB_1} = \vec{b_1} - \vec{b} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2} - \vec{b}$ $\vec{m_c} = \vec{CC_1} = \vec{c_1} - \vec{c} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} - \vec{c}$

Для того чтобы из трех отрезков можно было построить треугольник, необходимо и достаточно, чтобы сумма векторов, соответствующих этим отрезкам (при их последовательном откладывании), была равна нулевому вектору. Найдем сумму векторов медиан: $\vec{m_a} + \vec{m_b} + \vec{m_c} = \left(\frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} - \vec{a}\right) + \left(\frac{\vec{a} + \vec{c}}{2} - \vec{b}\right) + \left(\frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} - \vec{c}\right)$

Сгруппируем слагаемые: $\vec{m_a} + \vec{m_b} + \vec{m_c} = \frac{\vec{b} + \vec{c} + \vec{a} + \vec{c} + \vec{a} + \vec{b}}{2} - (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$ $\vec{m_a} + \vec{m_b} + \vec{m_c} = \frac{2\vec{a} + 2\vec{b} + 2\vec{c}}{2} - (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$ $\vec{m_a} + \vec{m_b} + \vec{m_c} = (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) - (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) = \vec{0}$

Поскольку сумма векторов медиан равна нулю, это означает, что если отложить эти векторы последовательно один за другим (так, чтобы начало следующего совпадало с концом предыдущего), они образуют замкнутую ломаную, то есть треугольник. Стороны этого треугольника будут по построению параллельны и равны по длине медианам треугольника $ABC$.

Доказательство с использованием геометрического построения

Рассмотрим треугольник $ABC$. Пусть $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ — его медианы (с длинами $m_a, m_b, m_c$), а $M$ — точка их пересечения (центроид). Известно, что медианы делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины.

Выполним следующее построение. На продолжении медианы $AA_1$ за точку $A_1$ (середину $BC$) отложим отрезок $A_1D$, равный отрезку $MA_1$. Таким образом, точка $A_1$ является серединой отрезка $MD$.

Рассмотрим четырехугольник $MBDC$. Его диагонали $BC$ и $MD$ пересекаются в точке $A_1$. По определению, $A_1$ — середина стороны $BC$. По нашему построению, $A_1$ также является серединой отрезка $MD$. Поскольку диагонали четырехугольника $MBDC$ пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, этот четырехугольник является параллелограммом.

Из свойства параллелограмма следует, что его противоположные стороны параллельны и равны. В частности, $CD \parallel MB$ и $CD = MB$.

Теперь рассмотрим треугольник $MCD$ (на рисунке выделен оранжевым цветом). Его сторона $MC$ является частью медианы $CC_1$ и имеет длину $MC = \frac{2}{3} m_c$. Его сторона $MD$ лежит на прямой, содержащей медиану $AA_1$, и имеет длину $MD = 2 \cdot MA_1 = 2 \cdot \left(\frac{1}{3} m_a\right) = \frac{2}{3} m_a$. Наконец, его сторона $CD$ параллельна отрезку $MB$ (который является частью медианы $BB_1$) и имеет длину $CD = MB = \frac{2}{3} m_b$.

Таким образом, мы построили треугольник $MCD$, стороны которого параллельны медианам $m_a, m_b, m_c$ треугольника $ABC$ и пропорциональны им с коэффициентом $\frac{2}{3}$. Построив треугольник, подобный $\triangle MCD$ с коэффициентом подобия $\frac{3}{2}$, мы получим искомый треугольник, стороны которого будут равны по длине медианам $m_a, m_b, m_c$ и параллельны им.

Ответ: Существование такого треугольника доказано. Его можно построить, например, как треугольник, подобный $\triangle MCD$ (где $M$ — центроид, $C$ — вершина, а $D$ — точка, симметричная $M$ относительно середины стороны $BC$) с коэффициентом подобия $\frac{3}{2}$.

1.63. Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен основаниям и равен полуразности этих оснований.

Пусть дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC ($AD \parallel BC$). Пусть M – середина диагонали AC, а N – середина диагонали BD. Требуется доказать, что отрезок MN параллелен основаниям и его длина равна их полуразности.

Для доказательства используем метод средних линий треугольников.

1. Доказательство параллельности отрезка MN основаниям трапеции

Рассмотрим боковую сторону AB и отметим на ней середину – точку K.

Теперь рассмотрим треугольник $ \triangle ABC $. Отрезок KM соединяет середины сторон AB и AC. Следовательно, KM является средней линией треугольника $ \triangle ABC $. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне, то есть $ KM \parallel BC $.

Аналогично рассмотрим треугольник $ \triangle ABD $. Отрезок KN соединяет середины сторон AB и BD. Следовательно, KN является средней линией треугольника $ \triangle ABD $. По свойству средней линии, $ KN \parallel AD $.

По определению трапеции, ее основания параллельны друг другу: $ AD \parallel BC $.

Мы получили, что $ KM \parallel BC $ и $ KN \parallel AD $. Так как $ AD \parallel BC $, то по свойству транзитивности параллельных прямых, $ KM \parallel AD $.

Таким образом, через точку K проходят два отрезка (KM и KN), которые параллельны одной и той же прямой AD. Согласно аксиоме параллельности Евклида, через точку, не лежащую на данной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной. Это означает, что отрезки KM и KN лежат на одной прямой. Следовательно, точки K, M и N коллинеарны (лежат на одной прямой).

Поскольку прямая, содержащая эти точки, параллельна AD и BC, то и отрезок MN, являющийся ее частью, также параллелен основаниям трапеции.

2. Нахождение длины отрезка MN

По свойству средней линии треугольника, ее длина равна половине длины стороны, которой она параллельна.

Для $ \triangle ABC $: $ KM = \frac{1}{2}BC $.

Для $ \triangle ABD $: $ KN = \frac{1}{2}AD $.

Так как точки K, M, N лежат на одной прямой, длина отрезка MN равна разности длин отрезков KN и KM. Предположим, что $ AD > BC $, тогда точка M лежит между K и N.

Длина отрезка MN вычисляется как:

$ MN = KN - KM = \frac{1}{2}AD - \frac{1}{2}BC = \frac{AD - BC}{2} $.

Если $ BC > AD $, то $ MN = KM - KN = \frac{1}{2}BC - \frac{1}{2}AD = \frac{BC - AD}{2} $. В общем виде, длина равна $ \frac{|AD - BC|}{2} $.

Таким образом, утверждение полностью доказано.

Ответ: Мы доказали, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен ее основаниям ($ MN \parallel AD \parallel BC $) и его длина равна полуразности длин этих оснований ($ MN = \frac{|AD - BC|}{2} $). Что и требовалось доказать.

1.64. Покажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон произвольного четырехугольника, в точке пересечения делятся пополам.

Для доказательства этого утверждения, известного как одна из теорем Вариньона, можно использовать векторный метод.

Рассмотрим произвольный четырехугольник $ABCD$. Это может быть выпуклый, невыпуклый или даже самопересекающийся четырехугольник. Пусть точки $M, N, P, Q$ являются серединами его сторон $AB, BC, CD$ и $DA$ соответственно. Нам необходимо доказать, что отрезки $MP$ и $NQ$, соединяющие середины противоположных сторон, пересекаются и в точке пересечения делятся пополам.

Введем радиус-векторы для вершин четырехугольника относительно произвольного начала координат $O$: $\vec{a} = \vec{OA}$, $\vec{b} = \vec{OB}$, $\vec{c} = \vec{OC}$, $\vec{d} = \vec{OD}$.

Поскольку точки $M, N, P, Q$ являются серединами соответствующих сторон, их радиус-векторы можно выразить через радиус-векторы вершин:

Радиус-вектор точки $M$, середины $AB$: $\vec{m} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$

Радиус-вектор точки $N$, середины $BC$: $\vec{n} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$

Радиус-вектор точки $P$, середины $CD$: $\vec{p} = \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2}$

Радиус-вектор точки $Q$, середины $DA$: $\vec{q} = \frac{\vec{d} + \vec{a}}{2}$

Чтобы доказать, что отрезки $MP$ и $NQ$ делятся в точке пересечения пополам, достаточно показать, что их середины совпадают.

Найдем радиус-вектор середины отрезка $MP$. Обозначим эту точку $O_1$. $ \vec{o_1} = \frac{\vec{m} + \vec{p}}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} + \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2} \right) = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{4} $

Теперь найдем радиус-вектор середины отрезка $NQ$. Обозначим эту точку $O_2$. $ \vec{o_2} = \frac{\vec{n} + \vec{q}}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} + \frac{\vec{d} + \vec{a}}{2} \right) = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{4} $

Так как $\vec{o_1} = \vec{o_2}$, то середины отрезков $MP$ и $NQ$ совпадают. Это означает, что отрезки пересекаются в этой общей середине и, следовательно, делятся ею пополам. Эта точка, называемая центроидом вершин четырехугольника, является их точкой пересечения.

Ответ: Утверждение доказано. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон произвольного четырехугольника, в точке пересечения делятся пополам.

1.65. Точки A, B и C расположены на прямой так, что $\vec{BC} = \frac{1}{2}\vec{AB}$. Покажите, что для произвольной точки O верно равенство $\vec{OB} = \frac{1}{3}\vec{OA} + \frac{2}{3}\vec{OC}$.

По условию задачи точки A, B и C расположены на одной прямой так, что выполняется векторное равенство $ \vec{BC} = \frac{1}{2}\vec{AB} $.

Для доказательства искомого равенства воспользуемся правилом разности векторов, согласно которому для произвольной точки O и любых двух точек X и Y справедливо равенство: $ \vec{XY} = \vec{OY} - \vec{OX} $. Применив это правило к векторам $ \vec{BC} $ и $ \vec{AB} $, получим $ \vec{BC} = \vec{OC} - \vec{OB} $ и $ \vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} $.

Подставим эти выражения в исходное равенство, данное в условии: $ \vec{OC} - \vec{OB} = \frac{1}{2}(\vec{OB} - \vec{OA}) $.

Теперь выполним алгебраические преобразования, чтобы выразить вектор $ \vec{OB} $. Сначала умножим обе части равенства на 2: $ 2(\vec{OC} - \vec{OB}) = \vec{OB} - \vec{OA} $. Раскрыв скобки, имеем $ 2\vec{OC} - 2\vec{OB} = \vec{OB} - \vec{OA} $.

Далее перегруппируем члены уравнения так, чтобы слагаемые с вектором $ \vec{OB} $ оказались в одной части, а остальные — в другой: $ \vec{OA} + 2\vec{OC} = \vec{OB} + 2\vec{OB} $. Упростив правую часть, получим $ \vec{OA} + 2\vec{OC} = 3\vec{OB} $.

Наконец, разделим обе части на 3, чтобы получить выражение для $ \vec{OB} $: $ \vec{OB} = \frac{\vec{OA} + 2\vec{OC}}{3} $. Это равенство можно переписать в требуемом виде: $ \vec{OB} = \frac{1}{3}\vec{OA} + \frac{2}{3}\vec{OC} $. Таким образом, искомое равенство доказано.

Ответ: Равенство $ \vec{OB} = \frac{1}{3}\vec{OA} + \frac{2}{3}\vec{OC} $ доказано.