Номер 1.64, страница 34 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.64. Покажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон произвольного четырехугольника, в точке пересечения делятся пополам.

Для доказательства этого утверждения, известного как одна из теорем Вариньона, можно использовать векторный метод.

Рассмотрим произвольный четырехугольник $ABCD$. Это может быть выпуклый, невыпуклый или даже самопересекающийся четырехугольник. Пусть точки $M, N, P, Q$ являются серединами его сторон $AB, BC, CD$ и $DA$ соответственно. Нам необходимо доказать, что отрезки $MP$ и $NQ$, соединяющие середины противоположных сторон, пересекаются и в точке пересечения делятся пополам.

Введем радиус-векторы для вершин четырехугольника относительно произвольного начала координат $O$: $\vec{a} = \vec{OA}$, $\vec{b} = \vec{OB}$, $\vec{c} = \vec{OC}$, $\vec{d} = \vec{OD}$.

Поскольку точки $M, N, P, Q$ являются серединами соответствующих сторон, их радиус-векторы можно выразить через радиус-векторы вершин:

Радиус-вектор точки $M$, середины $AB$: $\vec{m} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$

Радиус-вектор точки $N$, середины $BC$: $\vec{n} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$

Радиус-вектор точки $P$, середины $CD$: $\vec{p} = \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2}$

Радиус-вектор точки $Q$, середины $DA$: $\vec{q} = \frac{\vec{d} + \vec{a}}{2}$

Чтобы доказать, что отрезки $MP$ и $NQ$ делятся в точке пересечения пополам, достаточно показать, что их середины совпадают.

Найдем радиус-вектор середины отрезка $MP$. Обозначим эту точку $O_1$. $ \vec{o_1} = \frac{\vec{m} + \vec{p}}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} + \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2} \right) = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{4} $

Теперь найдем радиус-вектор середины отрезка $NQ$. Обозначим эту точку $O_2$. $ \vec{o_2} = \frac{\vec{n} + \vec{q}}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} + \frac{\vec{d} + \vec{a}}{2} \right) = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{4} $

Так как $\vec{o_1} = \vec{o_2}$, то середины отрезков $MP$ и $NQ$ совпадают. Это означает, что отрезки пересекаются в этой общей середине и, следовательно, делятся ею пополам. Эта точка, называемая центроидом вершин четырехугольника, является их точкой пересечения.

Ответ: Утверждение доказано. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон произвольного четырехугольника, в точке пересечения делятся пополам.