Номер 1.62, страница 34 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.62. Покажите, что можно построить треугольник, стороны которого равны медианам треугольника $ABC$ и параллельны этим медианам.

Для доказательства этого утверждения можно использовать два подхода: один основан на векторной алгебре, а другой — на геометрическом построении.

Доказательство с использованием векторов

Пусть вершины треугольника $ABC$ заданы радиус-векторами $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ соответственно. Пусть $A_1$, $B_1$, $C_1$ — середины сторон $BC$, $CA$ и $AB$. Их радиус-векторы равны: $\vec{a_1} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$, $\vec{b_1} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2}$, $\vec{c_1} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$.

Медианы треугольника $ABC$ можно представить в виде векторов (обозначим их $\vec{m_a}$, $\vec{m_b}$, $\vec{m_c}$): $\vec{m_a} = \vec{AA_1} = \vec{a_1} - \vec{a} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} - \vec{a}$ $\vec{m_b} = \vec{BB_1} = \vec{b_1} - \vec{b} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2} - \vec{b}$ $\vec{m_c} = \vec{CC_1} = \vec{c_1} - \vec{c} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} - \vec{c}$

Для того чтобы из трех отрезков можно было построить треугольник, необходимо и достаточно, чтобы сумма векторов, соответствующих этим отрезкам (при их последовательном откладывании), была равна нулевому вектору. Найдем сумму векторов медиан: $\vec{m_a} + \vec{m_b} + \vec{m_c} = \left(\frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} - \vec{a}\right) + \left(\frac{\vec{a} + \vec{c}}{2} - \vec{b}\right) + \left(\frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} - \vec{c}\right)$

Сгруппируем слагаемые: $\vec{m_a} + \vec{m_b} + \vec{m_c} = \frac{\vec{b} + \vec{c} + \vec{a} + \vec{c} + \vec{a} + \vec{b}}{2} - (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$ $\vec{m_a} + \vec{m_b} + \vec{m_c} = \frac{2\vec{a} + 2\vec{b} + 2\vec{c}}{2} - (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$ $\vec{m_a} + \vec{m_b} + \vec{m_c} = (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) - (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) = \vec{0}$

Поскольку сумма векторов медиан равна нулю, это означает, что если отложить эти векторы последовательно один за другим (так, чтобы начало следующего совпадало с концом предыдущего), они образуют замкнутую ломаную, то есть треугольник. Стороны этого треугольника будут по построению параллельны и равны по длине медианам треугольника $ABC$.

Доказательство с использованием геометрического построения

Рассмотрим треугольник $ABC$. Пусть $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ — его медианы (с длинами $m_a, m_b, m_c$), а $M$ — точка их пересечения (центроид). Известно, что медианы делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины.

Выполним следующее построение. На продолжении медианы $AA_1$ за точку $A_1$ (середину $BC$) отложим отрезок $A_1D$, равный отрезку $MA_1$. Таким образом, точка $A_1$ является серединой отрезка $MD$.

Рассмотрим четырехугольник $MBDC$. Его диагонали $BC$ и $MD$ пересекаются в точке $A_1$. По определению, $A_1$ — середина стороны $BC$. По нашему построению, $A_1$ также является серединой отрезка $MD$. Поскольку диагонали четырехугольника $MBDC$ пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, этот четырехугольник является параллелограммом.

Из свойства параллелограмма следует, что его противоположные стороны параллельны и равны. В частности, $CD \parallel MB$ и $CD = MB$.

Теперь рассмотрим треугольник $MCD$ (на рисунке выделен оранжевым цветом). Его сторона $MC$ является частью медианы $CC_1$ и имеет длину $MC = \frac{2}{3} m_c$. Его сторона $MD$ лежит на прямой, содержащей медиану $AA_1$, и имеет длину $MD = 2 \cdot MA_1 = 2 \cdot \left(\frac{1}{3} m_a\right) = \frac{2}{3} m_a$. Наконец, его сторона $CD$ параллельна отрезку $MB$ (который является частью медианы $BB_1$) и имеет длину $CD = MB = \frac{2}{3} m_b$.

Таким образом, мы построили треугольник $MCD$, стороны которого параллельны медианам $m_a, m_b, m_c$ треугольника $ABC$ и пропорциональны им с коэффициентом $\frac{2}{3}$. Построив треугольник, подобный $\triangle MCD$ с коэффициентом подобия $\frac{3}{2}$, мы получим искомый треугольник, стороны которого будут равны по длине медианам $m_a, m_b, m_c$ и параллельны им.

Ответ: Существование такого треугольника доказано. Его можно построить, например, как треугольник, подобный $\triangle MCD$ (где $M$ — центроид, $C$ — вершина, а $D$ — точка, симметричная $M$ относительно середины стороны $BC$) с коэффициентом подобия $\frac{3}{2}$.