Страница 32 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Каким может быть произведение $k \cdot \vec{a}$, если: 1) $\vec{a}=\vec{0}$; 2) $k=0$?

2. Как умножить число, не равное нулю, на ненулевой вектор?

3. Какими свойствами обладает умножение числа на вектор?

4. Докажите признак коллинеарности векторов.

5. Какое условие является необходимым и достаточным для того, чтобы точки A, B и C лежали на одной прямой?

1. Произведение числа $k$ на вектор $\vec{a}$ — это вектор, обозначаемый как $k\vec{a}$. Рассмотрим два случая, указанных в условии.

1) Если $\vec{a} = \vec{0}$ (нулевой вектор), то по определению умножения числа на вектор, произведение $k \cdot \vec{0}$ равно нулевому вектору для любого числа $k$. Таким образом, $k \cdot \vec{a} = \vec{0}$.

2) Если $k = 0$, то по определению, произведение $0 \cdot \vec{a}$ равно нулевому вектору для любого вектора $\vec{a}$. Таким образом, $k \cdot \vec{a} = \vec{0}$.

Ответ: В обоих случаях произведение $k \cdot \vec{a}$ равно нулевому вектору ($\vec{0}$).

2. Произведением ненулевого числа $k$ на ненулевой вектор $\vec{a}$ называется такой вектор $\vec{b} = k\vec{a}$, который удовлетворяет следующим условиям:

1. Длина (модуль) вектора $\vec{b}$ равна произведению модуля числа $k$ на длину вектора $\vec{a}$. Математически это записывается как $|\vec{b}| = |k| \cdot |\vec{a}|$.

2. Направление вектора $\vec{b}$ зависит от знака числа $k$: если $k > 0$, то вектор $\vec{b}$ сонаправлен с вектором $\vec{a}$ (имеет то же направление, что обозначается $\vec{b} \uparrow\uparrow \vec{a}$); если $k < 0$, то вектор $\vec{b}$ противоположно направлен вектору $\vec{a}$ (имеет противоположное направление, что обозначается $\vec{b} \uparrow\downarrow \vec{a}$).

Таким образом, чтобы умножить число $k \neq 0$ на ненулевой вектор $\vec{a}$, нужно построить вектор, коллинеарный исходному, длина которого равна $|\vec{a}|$, умноженному на $|k|$, а направление совпадает с направлением $\vec{a}$ при $k > 0$ и противоположно ему при $k < 0$.

Ответ: Чтобы умножить число $k \neq 0$ на ненулевой вектор $\vec{a}$, нужно получить новый вектор, длина которого равна $|k| \cdot |\vec{a}|$, а направление совпадает с направлением $\vec{a}$ при $k > 0$ и противоположно ему при $k < 0$.

3. Умножение числа на вектор обладает следующими свойствами. Для любых чисел $k, l$ и любых векторов $\vec{a}, \vec{b}$ справедливы равенства:

1. Сочетательный закон (ассоциативность): Произведение не зависит от порядка умножения чисел.
$(kl)\vec{a} = k(l\vec{a})$

2. Первый распределительный закон (дистрибутивность относительно сложения чисел):
$(k+l)\vec{a} = k\vec{a} + l\vec{a}$

3. Второй распределительный закон (дистрибутивность относительно сложения векторов):
$k(\vec{a}+\vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$

Кроме того, умножение на единицу не изменяет вектор: $1 \cdot \vec{a} = \vec{a}$.

Ответ: Умножение числа на вектор обладает сочетательным и двумя распределительными свойствами.

4. Признак коллинеарности векторов: Два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны тогда и только тогда, когда существует такое число $k$, что выполняется равенство $\vec{b} = k\vec{a}$.

Докажем это утверждение.

Необходимость. Пусть векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны.
Если $\vec{a} = \vec{0}$, то любой коллинеарный ему вектор $\vec{b}$ также должен быть нулевым ($\vec{b}=\vec{0}$). Равенство $\vec{0} = k \cdot \vec{0}$ выполняется для любого $k$, например, $k=1$.
Если $\vec{a} \neq \vec{0}$, то так как $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны, они либо сонаправлены ($\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$), либо противоположно направлены ($\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$).
1) Если $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$, выберем число $k = \frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}$. Так как длины векторов — положительные числа, то $k > 0$. Рассмотрим вектор $k\vec{a}$. Его длина равна $|k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}| = \frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|} \cdot |\vec{a}| = |\vec{b}|$. Так как $k > 0$, вектор $k\vec{a}$ сонаправлен с $\vec{a}$, а значит, и с $\vec{b}$. Поскольку векторы $k\vec{a}$ и $\vec{b}$ имеют одинаковую длину и одинаковое направление, они равны: $\vec{b} = k\vec{a}$.
2) Если $\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$, выберем число $k = -\frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}$. В этом случае $k < 0$. Длина вектора $k\vec{a}$ равна $|k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}| = |-\frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}| \cdot |\vec{a}| = \frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|} \cdot |\vec{a}| = |\vec{b}|$. Так как $k < 0$, вектор $k\vec{a}$ противоположно направлен вектору $\vec{a}$, то есть сонаправлен с вектором $\vec{b}$. Таким образом, векторы $k\vec{a}$ и $\vec{b}$ равны: $\vec{b} = k\vec{a}$.
Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть для векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ существует такое число $k$, что $\vec{b} = k\vec{a}$.
Если $k=0$ или $\vec{a}=\vec{0}$, то $\vec{b}=\vec{0}$. Нулевой вектор по определению коллинеарен любому вектору.
Если $k \neq 0$ и $\vec{a} \neq \vec{0}$, то по определению умножения вектора на число, вектор $\vec{b}=k\vec{a}$ имеет направление, которое либо совпадает с направлением $\vec{a}$ (при $k > 0$), либо противоположно ему (при $k < 0$). В обоих случаях векторы лежат на одной или на параллельных прямых, то есть они коллинеарны.
Достаточность доказана.

Ответ: Утверждение доказано в обе стороны (необходимость и достаточность).

5. Для того чтобы три различные точки $A, B$ и $C$ лежали на одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы векторы, образованные этими точками, были коллинеарны. Например, векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ должны быть коллинеарны.

Обоснование:
Необходимость: Если точки $A, B, C$ лежат на одной прямой, то векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$, отложенные от точки $A$, также будут лежать на этой же прямой. Векторы, лежащие на одной прямой, по определению коллинеарны.
Достаточность: Если векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ коллинеарны, это означает, что они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Поскольку оба эти вектора имеют общее начало в точке $A$, они не могут лежать на параллельных прямых. Следовательно, они лежат на одной прямой. А раз векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ лежат на одной прямой, то и точки $A, B, C$ лежат на этой прямой.

Используя признак коллинеарности из пункта 4, это условие можно записать в виде равенства:
$\vec{AC} = k \cdot \vec{AB}$
где $k$ — некоторое действительное число. Это и есть необходимое и достаточное условие того, что точки $A, B, C$ лежат на одной прямой.

Ответ: Необходимым и достаточным условием того, чтобы точки $A, B$ и $C$ лежали на одной прямой, является коллинеарность векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$, что эквивалентно существованию такого числа $k$, что $\vec{AC} = k \cdot \vec{AB}$.

1.48. Пусть даны векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и числа $\alpha$ и $\beta$. Сумма $\alpha\vec{a}+\beta\vec{b}$ называется линейной комбинацией векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

1) Представьте векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{a}+\vec{b}$, $\vec{0}$ в виде линейной комбинации векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

2) Как расположены эти линейные комбинации по сравнению с векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$, если $\vec{a}||\vec{b}$?

1)

Линейная комбинация векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ по определению имеет вид $\alpha\vec{a} + \beta\vec{b}$, где $\alpha$ и $\beta$ — это числовые коэффициенты. Чтобы представить заданные векторы в виде такой комбинации, нужно найти для каждого из них соответствующие значения $\alpha$ и $\beta$.

Для вектора $\vec{a}$: чтобы в результате получился вектор $\vec{a}$, нужно взять его с коэффициентом 1, а вектор $\vec{b}$ — с коэффициентом 0. Таким образом, $\alpha=1$, $\beta=0$, и мы получаем $\vec{a} = 1 \cdot \vec{a} + 0 \cdot \vec{b}$.

Для вектора $\vec{b}$: по аналогии, берем вектор $\vec{a}$ с коэффициентом 0 и вектор $\vec{b}$ с коэффициентом 1. Таким образом, $\alpha=0$, $\beta=1$, и мы получаем $\vec{b} = 0 \cdot \vec{a} + 1 \cdot \vec{b}$.

Для вектора $\vec{a}+\vec{b}$: чтобы получить их сумму, нужно взять оба вектора с коэффициентом 1. Таким образом, $\alpha=1$, $\beta=1$, и мы получаем $\vec{a} + \vec{b} = 1 \cdot \vec{a} + 1 \cdot \vec{b}$.

Для нулевого вектора $\vec{0}$: чтобы получить нулевой вектор, оба вектора нужно взять с коэффициентом 0. Таким образом, $\alpha=0$, $\beta=0$, и мы получаем $\vec{0} = 0 \cdot \vec{a} + 0 \cdot \vec{b}$.

Ответ:
$\vec{a} = 1 \cdot \vec{a} + 0 \cdot \vec{b}$
$\vec{b} = 0 \cdot \vec{a} + 1 \cdot \vec{b}$
$\vec{a} + \vec{b} = 1 \cdot \vec{a} + 1 \cdot \vec{b}$
$\vec{0} = 0 \cdot \vec{a} + 0 \cdot \vec{b}$

2)

Условие $\vec{a} \parallel \vec{b}$ означает, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны, то есть лежат на одной прямой или на параллельных прямых. По определению коллинеарности, существует такое число $k$, что $\vec{b} = k\vec{a}$ (при условии, что $\vec{a} \neq \vec{0}$).

Рассмотрим любую линейную комбинацию этих векторов, которую можно обозначить как вектор $\vec{c} = \alpha\vec{a} + \beta\vec{b}$. Подставим в это выражение $\vec{b} = k\vec{a}$:

$\vec{c} = \alpha\vec{a} + \beta(k\vec{a})$

Используя свойства операций над векторами, вынесем $\vec{a}$ за скобки:

$\vec{c} = (\alpha + \beta k)\vec{a}$

Это равенство показывает, что любой результирующий вектор $\vec{c}$ получается умножением вектора $\vec{a}$ на некоторое число $(\alpha + \beta k)$. Следовательно, вектор $\vec{c}$ всегда будет коллинеарен вектору $\vec{a}$. Поскольку $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны, то и любая их линейная комбинация будет коллинеарна им обоим.

Это относится ко всем векторам, представленным в пункте 1. Все они ($\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{a}+\vec{b}$, $\vec{0}$) будут коллинеарны исходным векторам $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Геометрически это означает, что если отложить все эти векторы от одной точки, они окажутся на одной и той же прямой.

Ответ: Если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ параллельны, то все указанные линейные комбинации ($\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{a}+\vec{b}$, $\vec{0}$) являются векторами, коллинеарными (т.е. параллельными) исходным векторам $\vec{a}$ и $\vec{b}$.