Страница 40 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.66. Какой знак имеет скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$, если

угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$: 1) острый; 2) тупой?

Скалярное произведение двух ненулевых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ вычисляется по формуле: $ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha) $, где $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — это длины (модули) векторов, а $\alpha$ — угол между ними.

Длины векторов $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ всегда являются положительными величинами. Таким образом, знак скалярного произведения полностью определяется знаком косинуса угла $\cos(\alpha)$ между векторами.

1) острый

Если угол $\alpha$ между векторами является острым, то его значение находится в диапазоне $0^\circ \le \alpha < 90^\circ$.

Для любого острого угла $\alpha$ его косинус положителен: $\cos(\alpha) > 0$. Следовательно, произведение $ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha) $ будет положительным, так как все три множителя положительны.
Ответ: если угол между векторами острый, скалярное произведение имеет положительный знак.

2) тупой

Если угол $\alpha$ между векторами является тупым, то его значение находится в диапазоне $90^\circ < \alpha \le 180^\circ$.

Для любого тупого угла $\alpha$ его косинус отрицателен: $\cos(\alpha) < 0$. Следовательно, произведение $ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha) $ будет отрицательным, так как является произведением двух положительных чисел на одно отрицательное.
Ответ: если угол между векторами тупой, скалярное произведение имеет отрицательный знак.

1.67. Что можно сказать об угле $\widehat{(\vec{a}, \vec{b})}$, если скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$:

1) положительное;

2) равно нулю;

3) отрицательное?

Скалярное произведение двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ определяется формулой: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\widehat{\vec{a}, \vec{b}})$, где $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — длины (модули) векторов, а $(\widehat{\vec{a}, \vec{b}})$ — угол между ними. Будем считать, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ ненулевые, так как иначе угол между ними не определён. В этом случае их длины $|\vec{a}| > 0$ и $|\vec{b}| > 0$. Следовательно, знак скалярного произведения зависит только от знака косинуса угла между векторами. Угол между векторами по определению находится в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$ (или от $0$ до $\pi$ радиан).

1) Если скалярное произведение положительное, то $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$. Так как $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\widehat{\vec{a}, \vec{b}})$ и произведение модулей $|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| > 0$, то из этого следует, что $\cos(\widehat{\vec{a}, \vec{b}}) > 0$. Косинус положителен для углов в диапазоне от $0^\circ$ до $90^\circ$. Таким образом, угол между векторами является острым. Ответ: Угол острый, то есть $(\widehat{\vec{a}, \vec{b}}) \in [0, \pi/2)$.

2) Если скалярное произведение равно нулю, то $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. Так как $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\widehat{\vec{a}, \vec{b}})$ и мы предполагаем, что векторы ненулевые ($|\vec{a}| > 0$ и $|\vec{b}| > 0$), то из этого следует, что $\cos(\widehat{\vec{a}, \vec{b}}) = 0$. Косинус равен нулю, когда угол равен $90^\circ$. Таким образом, угол между векторами является прямым, а сами векторы — ортогональными (перпендикулярными). Ответ: Угол прямой, то есть $(\widehat{\vec{a}, \vec{b}}) = \pi/2$ (или $90^\circ$).

3) Если скалярное произведение отрицательное, то $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$. Так как $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\widehat{\vec{a}, \vec{b}})$ и $|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| > 0$, то из этого следует, что $\cos(\widehat{\vec{a}, \vec{b}}) < 0$. Косинус отрицателен для углов в диапазоне от $90^\circ$ до $180^\circ$. Таким образом, угол между векторами является тупым. Ответ: Угол тупой, то есть $(\widehat{\vec{a}, \vec{b}}) \in (\pi/2, \pi]$.

1.68. Найдите скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$, если $|\vec{a}|=4$, $|\vec{b}|=\sqrt{3}$ и угол $\widehat{(\vec{a},\vec{b})}$ равен:

1) $30^\circ$;

2) $45^\circ$;

3) $90^\circ$;

4) $150^\circ$.

Для нахождения скалярного произведения двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ используется формула, основанная на их модулях и угле между ними: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$, где $\alpha$ — это угол $(\widehat{\vec{a}, \vec{b}})$.

По условию задачи нам даны модули векторов: $|\vec{a}|=4$ и $|\vec{b}|=\sqrt{3}$. Подставим эти значения и значения углов из каждого пункта в формулу.

1) Если угол $(\widehat{\vec{a}, \vec{b}})$ равен $30^{\circ}$, то косинус этого угла равен $\cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot \sqrt{3} \cdot \cos(30^{\circ}) = 4 \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \cdot \frac{3}{2} = 6$.
Ответ: 6

2) Если угол $(\widehat{\vec{a}, \vec{b}})$ равен $45^{\circ}$, то косинус этого угла равен $\cos(45^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot \sqrt{3} \cdot \cos(45^{\circ}) = 4 \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{6}$.
Ответ: $2\sqrt{6}$

3) Если угол $(\widehat{\vec{a}, \vec{b}})$ равен $90^{\circ}$, то косинус этого угла равен $\cos(90^{\circ}) = 0$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot \sqrt{3} \cdot \cos(90^{\circ}) = 4 \cdot \sqrt{3} \cdot 0 = 0$.
Ответ: 0

4) Если угол $(\widehat{\vec{a}, \vec{b}})$ равен $150^{\circ}$, то косинус этого угла равен $\cos(150^{\circ}) = \cos(180^{\circ} - 30^{\circ}) = -\cos(30^{\circ}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot \sqrt{3} \cdot \cos(150^{\circ}) = 4 \cdot \sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -4 \cdot \frac{3}{2} = -6$.
Ответ: -6

1.69. Если $\widehat{(\vec{a}, \vec{b})} = \varphi$, то для единичных векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ выполняется равенство $\vec{a} \cdot \vec{b} = \cos\varphi$. Покажите это.

По определению, скалярное произведение двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равно произведению их длин (модулей) на косинус угла между ними. Формула для скалярного произведения имеет вид:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\widehat{\vec{a}, \vec{b}})$

Из условия задачи нам известно, что:
1. Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ являются единичными. Это означает, что их длины (модули) равны единице: $|\vec{a}| = 1$ и $|\vec{b}| = 1$.
2. Угол между векторами, обозначаемый как $(\widehat{\vec{a}, \vec{b}})$, равен $\varphi$.

Подставим эти значения в общую формулу скалярного произведения:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 1 \cdot \cos\varphi$

После выполнения умножения получаем искомое равенство:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \cos\varphi$

Таким образом, мы показали, что для единичных векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ с углом $\varphi$ между ними, их скалярное произведение равно $\cos\varphi$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано. Оно следует непосредственно из определения скалярного произведения $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\varphi$ при подстановке значений модулей единичных векторов $|\vec{a}|=1$ и $|\vec{b}|=1$.

1.70. Заполните таблицу:

Для заполнения таблицы будем использовать формулу скалярного произведения векторов: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\vec{a}, \vec{b})$, где $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — модули векторов, а $\cos(\vec{a}, \vec{b})$ — косинус угла между ними. Из этой формулы можно выразить любую из неизвестных величин.

Столбец 1

Дано: $|\vec{a}| = 5$, $|\vec{b}| = 4$, $\cos(\vec{a}, \vec{b}) = 0,6$.

Найти: $\vec{a} \cdot \vec{b}$.

Решение: Используем основную формулу скалярного произведения.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 5 \cdot 4 \cdot 0,6 = 20 \cdot 0,6 = 12$.

Ответ: 12

Столбец 2

Дано: $|\vec{a}| = \sqrt{3}$, $|\vec{b}| = 2$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$.

Найти: $\cos(\vec{a}, \vec{b})$.

Решение: Выразим косинус угла из формулы скалярного произведения: $\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$.

$\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{3}{\sqrt{3} \cdot 2} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Столбец 3

Дано: $|\vec{a}| = 0,5$, $\cos(\vec{a}, \vec{b}) = 0,8$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = 4$.

Найти: $|\vec{b}|$.

Решение: Выразим модуль вектора $\vec{b}$ из формулы: $|\vec{b}| = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cos(\vec{a}, \vec{b})}$.

$|\vec{b}| = \frac{4}{0,5 \cdot 0,8} = \frac{4}{0,4} = 10$.

Ответ: 10

Столбец 4

Дано: $|\vec{b}| = 2$, $\cos(\vec{a}, \vec{b}) = 0,5$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = 5$.

Найти: $|\vec{a}|$.

Решение: Выразим модуль вектора $\vec{a}$ из формулы: $|\vec{a}| = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}| \cos(\vec{a}, \vec{b})}$.

$|\vec{a}| = \frac{5}{2 \cdot 0,5} = \frac{5}{1} = 5$.

Ответ: 5

Столбец 5

Дано: $|\vec{a}| = a$, $|\vec{b}| = b$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0,5ab$.

Найти: $\cos(\vec{a}, \vec{b})$.

Решение: Используем формулу для косинуса угла: $\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$.

$\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{0,5ab}{a \cdot b}$. Поскольку $a$ и $b$ — это модули векторов (положительные числа), мы можем сократить дробь на $ab$.

$\cos(\vec{a}, \vec{b}) = 0,5$.

Ответ: 0,5

Итоговая заполненная таблица: