Номер 1.50, страница 33 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.50. Даны неколлинеарные векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$. Докажите, что существуют числа $\alpha$ и $\beta$ такие, что $\vec{c} = \alpha \vec{a} + \beta \vec{b}$.

Формулировка задачи, представленная на изображении, содержит внутреннее противоречие. Сначала разберем это противоречие, а затем решим наиболее вероятную корректную версию задачи.

Анализ исходной формулировки

В условии сказано, что векторы $ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} $ некомпланарны. Некомпланарные векторы — это векторы, которые не лежат в одной плоскости (при условии, что их начала совмещены в одной точке).

При этом требуется доказать, что существуют такие числа $ \alpha $ и $ \beta $, для которых выполняется равенство $ \vec{c} = \alpha\vec{a} + \beta\vec{b} $. Это равенство означает, что вектор $ \vec{c} $ является линейной комбинацией векторов $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $. По определению, любой вектор, являющийся линейной комбинацией двух других векторов, лежит с ними в одной плоскости. То есть, из равенства $ \vec{c} = \alpha\vec{a} + \beta\vec{b} $ следует, что векторы $ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} $ компланарны.

Таким образом, условие (векторы некомпланарны) противоречит утверждению, которое нужно доказать (векторы компланарны). Следовательно, доказать утверждение в его исходной формулировке невозможно, так как оно ложно.

Вероятная корректная формулировка и ее решение

Скорее всего, в задаче допущена опечатка. Наиболее известная и фундаментальная теорема, связанная с данной темой, формулируется следующим образом:

Теорема: Любой вектор $ \vec{c} $, компланарный двум неколлинеарным векторам $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $, может быть представлен в виде их линейной комбинации: $ \vec{c} = \alpha\vec{a} + \beta\vec{b} $, где $ \alpha $ и $ \beta $ — некоторые числа.

Доказательство:

Пусть даны два неколлинеарных вектора $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ и компланарный им вектор $ \vec{c} $. Неколлинеарность векторов $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ означает, что они не лежат на одной прямой.

1. Отложим все три вектора от общего начала — точки $ O $. Получим векторы $ \vec{OA} = \vec{a} $, $ \vec{OB} = \vec{b} $ и $ \vec{OC} = \vec{c} $. Поскольку векторы компланарны, точки $ O, A, B, C $ лежат в одной плоскости.

2. Проведем через точку $ C $ прямую, параллельную прямой $ OB $ (на которой лежит вектор $ \vec{b} $). Так как векторы $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ неколлинеарны, прямые $ OA $ и $ OB $ пересекаются. Следовательно, прямая, проведенная через $ C $ параллельно $ OB $, пересечет прямую $ OA $ в некоторой точке $ A' $.

3. Вектор $ \vec{OA'} $ лежит на прямой $ OA $, значит, он коллинеарен вектору $ \vec{a} $. Следовательно, существует такое число $ \alpha $, что $ \vec{OA'} = \alpha\vec{a} $.

4. Аналогично, проведем через точку $ C $ прямую, параллельную прямой $ OA $. Она пересечет прямую $ OB $ в некоторой точке $ B' $. Вектор $ \vec{OB'} $ коллинеарен вектору $ \vec{b} $, и, следовательно, существует такое число $ \beta $, что $ \vec{OB'} = \beta\vec{b} $.

5. По построению, четырехугольник $ OA'CB' $ является параллелограммом. По правилу параллелограмма для сложения векторов, диагональ $ \vec{OC} $ равна сумме векторов, образующих его стороны, исходящие из той же вершины: $ \vec{OC} = \vec{OA'} + \vec{OB'} $.

6. Подставив выражения из шагов 3 и 4 в равенство из шага 5, получим требуемое разложение: $ \vec{c} = \alpha\vec{a} + \beta\vec{b} $.

Таким образом, мы доказали, что для любых двух неколлинеарных векторов $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ и компланарного им вектора $ \vec{c} $ существуют числа $ \alpha $ и $ \beta $, позволяющие представить $ \vec{c} $ в виде их линейной комбинации.

Ответ: Утверждение, которое нужно доказать, справедливо, если исправить условие "некомпланарные векторы $ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} $" на "неколлинеарные векторы $ \vec{a}, \vec{b} $ и компланарный им вектор $ \vec{c} $". Доказательство основано на правиле параллелограмма для сложения векторов и свойстве коллинеарных векторов. Любой вектор $ \vec{c} $ в плоскости, заданной векторами $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $, можно представить как диагональ параллелограмма, стороны которого коллинеарны векторам $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $. Длины этих сторон, отнесенные к длинам векторов $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $, и дают искомые коэффициенты $ \alpha $ и $ \beta $.