Номер 2.4, страница 75 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.4. Сколько центров симметрии имеет:

1) отрезок;

2) луч;

3) прямая;

4) угол?

Центральная симметрия (симметрия относительно точки) — это вид симметрии, при котором каждой точке $A$ фигуры $F$ ставится в соответствие точка $A'$, такая что точка $O$ (центр симметрии) является серединой отрезка $AA'$. При этом фигура $F$ отображается на саму себя.

1) отрезок

Отрезок имеет ровно один центр симметрии — свою середину. Пусть дан отрезок $AB$ и точка $M$ является его серединой. Тогда для любой точки $P$, принадлежащей отрезку $AB$, симметричная ей относительно $M$ точка $P'$ также будет лежать на отрезке $AB$. Например, конец отрезка $A$ симметричен концу $B$ относительно точки $M$. Если выбрать любую другую точку в качестве центра симметрии, то хотя бы один из концов отрезка отобразится в точку, не принадлежащую отрезку.

Ответ: 1.

2) луч

У луча нет центра симметрии. Луч имеет начальную точку и бесконечно продолжается в одном направлении. Если предположить, что у луча есть центр симметрии $C$, то для любой точки $P$ на луче симметричная ей точка $P'$ также должна принадлежать лучу. Однако, если взять в качестве центра симметрии начало луча $O$, то для любой точки $P$ на луче ($P \neq O$) симметричная ей точка $P'$ окажется вне луча. Если же выбрать любую другую точку $C$ (на луче или вне его), всегда можно найти такую точку на луче, симметричный образ которой будет лежать вне этого луча.

Ответ: 0.

3) прямая

Прямая имеет бесконечно много центров симметрии. Любая точка, лежащая на прямой, является её центром симметрии. Для любой точки $P$ на прямой и для любого выбранного на этой же прямой центра $C$ симметричная точка $P'$ всегда будет принадлежать этой же прямой, так как прямая бесконечна в обе стороны. Точки, не лежащие на прямой, не могут быть её центрами симметрии.

Ответ: бесконечно много.

4) угол

Под углом понимают геометрическую фигуру, состоящую из точки (вершины) и двух лучей (сторон), исходящих из этой точки. В общем случае у угла нет центра симметрии. Если рассмотреть вершину угла $O$ как возможный центр симметрии, то для точки $P$ на одной из его сторон симметричная точка $P'$ будет лежать на луче, дополнительном к этой стороне. Эта точка $P'$ будет принадлежать исходному углу только в одном частном случае — если угол развёрнутый ($180^\circ$), то есть является прямой. Развёрнутый угол (прямая) имеет бесконечно много центров симметрии. Однако для любого неразвёрнутого угла ($ \neq 180^\circ $) ни его вершина, ни любая другая точка не является центром симметрии.

Ответ: 0 (если угол не является развёрнутым).