Номер 2.9, страница 76 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.9. Сколько центров симметрии имеет фигура, состоящая из двух взаимно параллельных прямых?

Центром симметрии фигуры называется такая точка $O$, что для любой точки $A$ фигуры, точка $A'$, симметричная точке $A$ относительно $O$, также принадлежит этой фигуре. Иными словами, преобразование центральной симметрии с центром $O$ отображает фигуру на саму себя.

Рассмотрим фигуру, состоящую из двух параллельных прямых. Обозначим эти прямые как $l_1$ и $l_2$.

Пусть точка $O$ является центром симметрии данной фигуры. Центральная симметрия с центром $O$ должна переводить всю фигуру (объединение прямых $l_1$ и $l_2$) в себя. Так как симметрия является движением, она переводит прямую в прямую. Возможны два случая:

1. Прямая $l_1$ переходит в себя, а прямая $l_2$ — в себя. Это возможно, только если центр симметрии $O$ лежит на каждой из этих прямых, что невозможно, так как прямые $l_1$ и $l_2$ не пересекаются.

2. Прямая $l_1$ переходит в прямую $l_2$, а прямая $l_2$ — в прямую $l_1$. Этот случай является единственно возможным.

Для того чтобы симметрия относительно точки $O$ переводила прямую $l_1$ в прямую $l_2$, необходимо, чтобы точка $O$ была равноудалена от этих прямых. Множество всех точек, равноудаленных от двух параллельных прямых, есть прямая, параллельная данным и проходящая посередине между ними. Обозначим эту прямую как $m$.

Докажем, что любая точка $O$, принадлежащая прямой $m$, является центром симметрии. Пусть $O$ — произвольная точка на прямой $m$. Возьмем любую точку $A$ на прямой $l_1$. Построим точку $A'$, симметричную $A$ относительно $O$. Это означает, что $O$ — середина отрезка $AA'$. Так как точка $A$ лежит на $l_1$, а точка $O$ — на срединной прямой $m$, то точка $A'$ окажется на прямой $l_2$. Таким образом, вся прямая $l_1$ отображается на прямую $l_2$. Аналогично, любая точка $B$ на прямой $l_2$ при симметрии относительно $O$ перейдет в точку $B'$ на прямой $l_1$.

Следовательно, любая точка на прямой $m$ является центром симметрии для фигуры, состоящей из двух параллельных прямых. Поскольку прямая $m$ содержит бесконечное множество точек, у данной фигуры бесконечно много центров симметрии.

Ответ: Фигура, состоящая из двух взаимно параллельных прямых, имеет бесконечно много центров симметрии. Все они образуют прямую, параллельную данным и расположенную посередине между ними.