Номер 2.14, страница 76 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.14. Докажите, что прямая, содержащая биссектрису угла, является его осью симметрии.

Пусть дан угол $\angle AOB$ с вершиной в точке $O$ и сторонами-лучами $OA$ и $OB$. Пусть луч $OL$ является его биссектрисой, а прямая $l$, содержащая этот луч, — предполагаемая ось симметрии.

Чтобы доказать, что прямая $l$ является осью симметрии угла $\angle AOB$, необходимо показать, что при осевой симметрии относительно прямой $l$ угол отображается сам на себя. Это означает, что образ любой точки одной стороны угла должен лежать на другой его стороне.

Возьмём на луче $OA$ произвольную точку $M$, не совпадающую с вершиной $O$. Построим точку $M'$, симметричную точке $M$ относительно прямой $l$. По определению осевой симметрии, прямая $l$ является серединным перпендикуляром к отрезку $MM'$. Пусть $H$ — точка пересечения отрезка $MM'$ и прямой $l$. Тогда $MM' \perp l$ и $MH = M'H$.

Рассмотрим треугольники $\triangle OMH$ и $\triangle OM'H$. Они прямоугольные, так как $MM' \perp l$. В этих треугольниках катет $OH$ является общим, а катет $MH$ равен катету $M'H$ по построению.

Следовательно, $\triangle OMH \cong \triangle OM'H$ по двум катетам. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов и сторон: $\angle MOH = \angle M'OH$ и $OM = OM'$.

Поскольку луч $OL$ (часть прямой $l$) является биссектрисой угла $\angle AOB$, то $\angle AOL = \angle BOL$. Точка $M$ лежит на луче $OA$, а точка $H$ — на луче $OL$, поэтому $\angle MOH = \angle AOL$.

Тогда мы имеем цепочку равенств: $\angle M'OH = \angle MOH = \angle AOL = \angle BOL$. Отсюда, $\angle M'OH = \angle BOL$.

Точки $M$ и $M'$ лежат в разных полуплоскостях относительно прямой $l$. Значит, луч $OM'$ находится в той же полуплоскости, что и луч $OB$. Так как лучи $OM'$ и $OB$ выходят из одной точки $O$, лежат в одной полуплоскости относительно прямой $l$ и образуют с ней равные углы ($\angle M'OH = \angle BOL$), эти лучи совпадают. Следовательно, точка $M'$ лежит на луче $OB$.

Поскольку точка $M$ была выбрана на луче $OA$ произвольно, это означает, что любая точка луча $OA$ при симметрии относительно прямой $l$ отображается на точку луча $OB$. Аналогично можно показать, что любая точка луча $OB$ отображается на точку луча $OA$. Вершина $O$ как точка на оси симметрии отображается сама в себя.

Таким образом, симметрия относительно прямой $l$ отображает угол $\angle AOB$ на себя. Это по определению означает, что прямая, содержащая биссектрису угла, является его осью симметрии. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.