Номер 2.21, страница 77 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.21. Дан прямоугольник с вершинами в точках $A(2; 1)$, $B(5; 4)$, $C(11; -2)$ и $D(8; -5).

1) Определите координаты центра симметрии.

2) Напишите уравнение осей симметрии этого прямоугольника.

1) Центр симметрии прямоугольника — это точка пересечения его диагоналей. Эта точка также является серединой любой из диагоналей. Найдем координаты центра симметрии $O(x_O; y_O)$ как середину диагонали AC, используя формулу середины отрезка для точек $A(x_A; y_A)$ и $C(x_C; y_C)$:
$x_O = \frac{x_A + x_C}{2}$
$y_O = \frac{y_A + y_C}{2}$
Подставим координаты точек $A(2; 1)$ и $C(11; -2)$:
$x_O = \frac{2 + 11}{2} = \frac{13}{2} = 6.5$
$y_O = \frac{1 + (-2)}{2} = -\frac{1}{2} = -0.5$
Таким образом, координаты центра симметрии: $O(\frac{13}{2}; -\frac{1}{2})$.
Для проверки можно использовать диагональ BD с точками $B(5; 4)$ и $D(8; -5)$:
$x_O = \frac{5 + 8}{2} = \frac{13}{2} = 6.5$
$y_O = \frac{4 + (-5)}{2} = -\frac{1}{2} = -0.5$
Координаты совпадают, что подтверждает правильность расчета.
Ответ: $(\frac{13}{2}; -\frac{1}{2})$

2) Оси симметрии прямоугольника — это прямые, проходящие через середины его противоположных сторон. Эти оси пересекаются в центре симметрии $O$. Всего у прямоугольника две оси симметрии.
Сначала найдем координаты середин всех сторон прямоугольника.
Середина стороны AB, точка $M_{AB}$:
$M_{AB} = (\frac{x_A+x_B}{2}; \frac{y_A+y_B}{2}) = (\frac{2+5}{2}; \frac{1+4}{2}) = (\frac{7}{2}; \frac{5}{2})$
Середина стороны CD, точка $M_{CD}$:
$M_{CD} = (\frac{x_C+x_D}{2}; \frac{y_C+y_D}{2}) = (\frac{11+8}{2}; \frac{-2-5}{2}) = (\frac{19}{2}; -\frac{7}{2})$
Середина стороны BC, точка $M_{BC}$:
$M_{BC} = (\frac{x_B+x_C}{2}; \frac{y_B+y_C}{2}) = (\frac{5+11}{2}; \frac{4-2}{2}) = (8; 1)$
Середина стороны DA, точка $M_{DA}$:
$M_{DA} = (\frac{x_D+x_A}{2}; \frac{y_D+y_A}{2}) = (\frac{8+2}{2}; \frac{-5+1}{2}) = (5; -2)$

Первая ось симметрии проходит через точки $M_{BC}(8; 1)$ и $M_{DA}(5; -2)$. Найдем уравнение этой прямой.
Угловой коэффициент $k_1$:
$k_1 = \frac{y_{M_{DA}} - y_{M_{BC}}}{x_{M_{DA}} - x_{M_{BC}}} = \frac{-2 - 1}{5 - 8} = \frac{-3}{-3} = 1$
Используем уравнение прямой, проходящей через точку $(x_0, y_0)$ с угловым коэффициентом $k$: $y - y_0 = k(x - x_0)$. Возьмем точку $M_{BC}(8; 1)$:
$y - 1 = 1 \cdot (x - 8)$
$y = x - 7$

Вторая ось симметрии проходит через точки $M_{AB}(\frac{7}{2}; \frac{5}{2})$ и $M_{CD}(\frac{19}{2}; -\frac{7}{2})$. Найдем уравнение этой прямой.
Угловой коэффициент $k_2$:
$k_2 = \frac{y_{M_{CD}} - y_{M_{AB}}}{x_{M_{CD}} - x_{M_{AB}}} = \frac{-7/2 - 5/2}{19/2 - 7/2} = \frac{-12/2}{12/2} = -1$
Возьмем точку $M_{AB}(\frac{7}{2}; \frac{5}{2})$:
$y - \frac{5}{2} = -1 \cdot (x - \frac{7}{2})$
$y - \frac{5}{2} = -x + \frac{7}{2}$
$y = -x + \frac{7}{2} + \frac{5}{2}$
$y = -x + 6$
Ответ: $y = x - 7$ и $y = -x + 6$.

Визуализация задачи: