Практическая работа, страница 79 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА

1. Дан отрезок $AB$ и центр поворота $O$, не лежащий на этом отрезке. Постройте образ этого отрезка при повороте на: а) $30^\circ$; б) $60^\circ$; в) $120^\circ$; г) $180^\circ$.

2. Постройте треугольник $ABC$ и образ этого треугольника около вершины $A$ при повороте на $60^\circ$ против хода часовой стрелки.

3. Даны точки $A$, $B$, $C$. При параллельном переносе точка $A$ переходит в точку $B$. Постройте образ $C'$ точки $C$ при этом параллельном переносе.

1. Для построения образа отрезка $AB$ при повороте вокруг центра $O$ на заданный угол $\alpha$, необходимо выполнить поворот его концов, точек $A$ и $B$, на тот же угол вокруг того же центра. Полученные точки $A'$ и $B'$ и будут концами искомого отрезка $A'B'$.
Построение образа точки (например, $A$) при повороте вокруг центра $O$ на угол $\alpha$ выполняется следующим образом:
1. Соединяем точку $A$ с центром поворота $O$ отрезком $OA$.
2. С помощью транспортира от луча $OA$ откладываем угол, равный $\alpha$, в заданном направлении (по умолчанию — против часовой стрелки). Получаем новый луч $OA'$.
3. С помощью циркуля откладываем на луче $OA'$ отрезок $OA'$, равный по длине отрезку $OA$.
4. Точка $A'$ является образом точки $A$ при данном повороте.
Аналогичные действия выполняются для точки $B$, чтобы найти ее образ $B'$. Соединив $A'$ и $B'$, получаем искомый образ отрезка.

а) 30°; б) 60°; в) 120°; г) 180°
На рисунке ниже показан исходный отрезок $AB$ и центр поворота $O$. Для каждого угла поворота построен соответствующий образ отрезка $AB$:

• при повороте на 30° — отрезок $A_1B_1$ (красный);
• при повороте на 60° — отрезок $A_2B_2$ (зеленый);
• при повороте на 120° — отрезок $A_3B_3$ (синий);
• при повороте на 180° — отрезок $A_4B_4$ (фиолетовый).

Ответ: Построение образов отрезка при повороте на разные углы показано на рисунке.

2. Для построения образа треугольника $ABC$ при повороте вокруг вершины $A$ на 60° против часовой стрелки, нужно повернуть две другие вершины, $B$ и $C$, вокруг точки $A$ на заданный угол. Вершина $A$, являясь центром поворота, переходит сама в себя ($A' = A$).
Построение образа точки B:
1. Проводим отрезок $AB$.
2. От луча $AB$ против часовой стрелки откладываем угол $60°$.
3. На новом луче откладываем отрезок $AB'$, равный отрезку $AB$. Точка $B'$ — образ точки $B$. (Треугольник $ABB'$ является равносторонним).
Построение образа точки C:
1. Проводим отрезок $AC$.
2. От луча $AC$ против часовой стрелки откладываем угол $60°$.
3. На новом луче откладываем отрезок $AC'$, равный отрезку $AC$. Точка $C'$ — образ точки $C$. (Треугольник $ACC'$ является равносторонним).
Соединив точки $A$, $B'$ и $C'$, получаем искомый треугольник $AB'C'$.

Ответ: Искомый треугольник $AB'C'$ построен путем поворота вершин $B$ и $C$ вокруг вершины $A$ на 60° против часовой стрелки, как показано на рисунке.

3. Параллельный перенос, при котором точка $A$ переходит в точку $B$, задается вектором переноса $\vec{v} = \vec{AB}$. Чтобы найти образ $C'$ точки $C$ при этом же параллельном переносе, необходимо отложить от точки $C$ вектор $\vec{CC'}$, равный вектору $\vec{AB}$.
Это означает, что $\vec{CC'} = \vec{AB}$. Векторы равны, если они сонаправлены и их длины равны. Геометрически это означает, что четырехугольник $ABC'C$ является параллелограммом.
Построение точки $C'$ можно выполнить с помощью циркуля и линейки:
1. Соединяем точки $A$ и $B$ (вектор переноса), а также точки $A$ и $C$.
2. Измеряем циркулем расстояние $AB$. Проводим дугу окружности с центром в точке $C$ и радиусом, равным $AB$.
3. Измеряем циркулем расстояние $AC$. Проводим дугу окружности с центром в точке $B$ и радиусом, равным $AC$.
4. Точка пересечения этих двух дуг и будет искомой точкой $C'$.
5. Соединяем $C$ и $C'$, а также $B$ и $C'$, чтобы увидеть полученный параллелограмм $ABC'C$.

Ответ: Точка $C'$ построена таким образом, что $\vec{CC'} = \vec{AB}$, в результате чего четырехугольник $ABC'C$ является параллелограммом, как показано на рисунке.