Номер 2.25, страница 77 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.25. Даны окружность, центр которой не отмечен, и две неравные параллельные хорды. Пользуясь только линейкой, разделите эти хорды пополам.

Для решения этой задачи используется свойство равнобедренной трапеции, вписанной в окружность. Фигура, образованная двумя параллельными хордами и отрезками, соединяющими их концы, является такой трапецией.

Построение

1. Обозначим концы одной хорды буквами $A$ и $B$, а другой, параллельной ей хорды, — $C$ и $D$.
2. Соединим концы хорд так, чтобы получилась трапеция. Например, проведем отрезки $AC$ и $BD$, которые будут боковыми сторонами трапеции $ACDB$. Поскольку хорды не равны, боковые стороны не параллельны. Продлим их с помощью линейки до пересечения в точке $Q$.
3. Проведем диагонали этой трапеции — отрезки $AD$ и $BC$. Они пересекутся в точке $P$.
4. Проведем прямую через точки $P$ и $Q$.
5. Точка пересечения прямой $PQ$ с хордой $AB$ будет ее серединой (обозначим ее $M$). Точка пересечения прямой $PQ$ с хордой $CD$ будет ее серединой (обозначим ее $N$).

Обоснование

Четырехугольник, образованный концами двух параллельных хорд ($ACDB$ на рисунке), является равнобедренной трапецией, так как он вписан в окружность и его основания ($AB$ и $CD$) параллельны.
В любой трапеции точка пересечения диагоналей, точка пересечения продолжений боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой. Для равнобедренной трапеции эта прямая является ее осью симметрии.
Ось симметрии равнобедренной трапеции перпендикулярна ее основаниям и делит их пополам.
В нашем построении:
- Точка $P$ — это точка пересечения диагоналей $AD$ и $BC$.
- Точка $Q$ — это точка пересечения продолжений боковых сторон $AC$ и $BD$.
- Прямая $PQ$, проведенная через эти точки, и есть ось симметрии трапеции $ACDB$.
Следовательно, эта прямая пересекает основания $AB$ и $CD$ в их серединах, точках $M$ и $N$ соответственно. Таким образом, задача решена с использованием только линейки.

Ответ:

Чтобы разделить хорды $AB$ и $CD$ пополам, необходимо выполнить следующие построения с помощью линейки:1. Соединить концы хорд, образовав трапецию (например, $ACDB$).2. Найти точку $P$ — пересечение диагоналей трапеции ($AD$ и $BC$).3. Найти точку $Q$ — пересечение продолжений боковых сторон трапеции ($AC$ и $BD$).4. Провести прямую через точки $P$ и $Q$.Точки пересечения этой прямой с хордами $AB$ и $CD$ и будут их искомыми серединами.