Номер 2.24, страница 77 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.24. Точки $A$ и $B$ расположены по разным сторонам прямой $m$. Найдите на прямой $m$ точку $C$ такую, чтобы прямая $m$ содержала биссектрису угла $ACB$.

Анализ

Пусть $C$ — искомая точка на прямой $m$. По условию, прямая $m$ должна содержать биссектрису угла $ACB$. Поскольку точки $A$ и $B$ лежат по разные стороны от прямой $m$, то и лучи $CA$ и $CB$ также лежат по разные стороны от $m$. Это означает, что углы, которые отрезки $AC$ и $BC$ образуют с прямой $m$, должны быть равны.
Воспользуемся методом осевой симметрии. Построим точку $A'$, симметричную точке $A$ относительно прямой $m$.
Из свойств осевой симметрии следует, что для любой точки $C$ на оси симметрии $m$:
1. Расстояние $AC$ равно расстоянию $A'C$.
2. Угол между отрезком $AC$ и прямой $m$ равен углу между отрезком $A'C$ и прямой $m$.
Таким образом, исходное условие равенства углов, образуемых $AC$ и $BC$ с прямой $m$, можно переписать так: угол между $A'C$ и прямой $m$ должен быть равен углу между $BC$ и прямой $m$.
Так как точки $A$ и $B$ находятся по разные стороны от $m$, то симметричная точка $A'$ будет находиться по ту же сторону от $m$, что и точка $B$. Для того чтобы углы, образованные отрезками $A'C$ и $BC$ с прямой $m$, были равны, необходимо, чтобы точки $A'$, $C$ и $B$ лежали на одной прямой. В этом случае углы при вершине $C$, образованные пересечением прямых $A'B$ и $m$, будут вертикальными и, следовательно, равными.
Следовательно, искомая точка $C$ является точкой пересечения прямой, проходящей через точки $A'$ и $B$, с прямой $m$.

Построение

1. Строим точку $A'$, симметричную точке $A$ относительно прямой $m$. Для этого из точки $A$ опускаем перпендикуляр $AH$ на прямую $m$ и на его продолжении откладываем отрезок $HA'$, равный $AH$.
2. Соединяем точку $A'$ с точкой $B$ прямой линией.
3. Точка пересечения прямой $A'B$ с прямой $m$ и будет искомой точкой $C$.

Доказательство

Пусть точка $C$ построена указанным способом, то есть $C = A'B \cap m$. Докажем, что прямая $m$ является биссектрисой угла $ACB$.
Обозначим острые углы, которые образуют лучи $CA$ и $CB$ с прямой $m$, как $\alpha$ и $\beta$ соответственно. Нам нужно доказать, что $\alpha = \beta$.
По свойству осевой симметрии, угол между лучом $CA$ и прямой $m$ равен углу между лучом $CA'$ и прямой $m$. Обозначим этот угол $\alpha'$. Таким образом, $\alpha = \alpha'$.
По построению, точки $A'$, $C$ и $B$ лежат на одной прямой. Угол $\alpha'$ (между $CA'$ и $m$) и угол $\beta$ (между $CB$ и $m$) являются вертикальными углами, образованными при пересечении прямых $A'B$ и $m$. Следовательно, $\alpha' = \beta$.
Из равенств $\alpha = \alpha'$ и $\alpha' = \beta$ следует, что $\alpha = \beta$.
Это означает, что прямая $m$ делит угол $ACB$ так, что углы, образованные сторонами угла с прямой $m$, равны. Что и требовалось доказать.

Исследование

Задача имеет решение, если построенная прямая $A'B$ пересекает прямую $m$.
Точки $A$ и $B$ расположены по разные стороны от прямой $m$. Точка $A'$ симметрична $A$ относительно $m$, значит, $A'$ и $B$ лежат по одну сторону от прямой $m$.
Прямая $A'B$ пересечет прямую $m$ в одной точке, если она не параллельна прямой $m$.
Прямая $A'B$ будет параллельна $m$ тогда и только тогда, когда расстояние от точки $A'$ до прямой $m$ равно расстоянию от точки $B$ до прямой $m$.
По свойству симметрии, расстояние от $A'$ до $m$ равно расстоянию от $A$ до $m$.
Следовательно, если расстояние от точки $A$ до прямой $m$ не равно расстоянию от точки $B$ до прямой $m$ (то есть $d(A, m) \neq d(B, m)$), то прямые $A'B$ и $m$ пересекаются, и задача имеет единственное решение.
Если же $d(A, m) = d(B, m)$, то прямая $A'B$ параллельна прямой $m$, и точки пересечения не существует. В этом случае задача не имеет решений.
Ответ: Искомая точка $C$ является точкой пересечения прямой $m$ с прямой, соединяющей точку $B$ и точку $A'$, симметричную точке $A$ относительно прямой $m$. Решение существует и единственно, если расстояния от точек $A$ и $B$ до прямой $m$ не равны.