Номер 2.17, страница 76 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.17. Решите задачу 2.3, пользуясь только циркулем.

Задача 2.17 отсылает к задаче 2.3, которую необходимо решить, используя только циркуль. В стандартных учебниках по геометрии задача 2.3 часто представляет собой одну из базовых задач на построение, например, построение середины отрезка или биссектрисы угла. В некоторых сборниках задач, например, в задачнике В.В. Прасолова, задача 2.3 включает в себя две части: построение середины отрезка и построение точки пересечения двух прямых с помощью только циркуля.

Построения с помощью одного только циркуля называются построениями Маскерони. Согласно теореме Мора-Маскерони, любое построение, выполнимое с помощью циркуля и линейки, может быть выполнено и с помощью одного лишь циркуля (при условии, что прямая считается заданной, если даны две ее точки).

Ниже представлено решение для двух наиболее вероятных вариантов условия задачи 2.3.

а) Построить середину данного отрезка AB

Пусть даны две точки A и B. Требуется построить точку M — середину отрезка AB.

Построение:

1. Проведем окружность $\omega_1$ с центром в точке A и радиусом AB.

2. Проведем окружность $\omega_2$ с центром в точке B и радиусом AB. Окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ пересекаются в двух точках. Выберем одну из них и назовем ее C.

3. Проведем окружность $\omega_3$ с центром в точке C и радиусом AB. Эта окружность пересечет окружность $\omega_1$ в точке B и еще одной точке, которую назовем D.

4. Проведем окружность $\omega_4$ с центром в точке D и радиусом DA. Заметим, что так как D лежит на $\omega_1$ (с центром А), то радиус $DA$ равен радиусу $\omega_1$, то есть AB. Таким образом, радиус $\omega_4$ равен AB.

5. Проведем окружность $\omega_5$ с центром в точке B. Радиус этой окружности должен быть равен расстоянию CD. Установим раствор циркуля равным CD и проведем окружность $\omega_5$ с центром в B.

6. Окружности $\omega_4$ и $\omega_5$ пересекутся в двух точках. Эти две точки симметричны относительно прямой AB. Проведем окружность $\omega_6$ с центром в одной из этих точек пересечения и радиусом, равным AB. Проведем окружность $\omega_7$ с центром в другой точке пересечения и тем же радиусом AB.

7. Точки пересечения окружностей $\omega_6$ и $\omega_7$ — это искомая середина отрезка M и еще одна точка. Одна из этих точек будет лежать на отрезке AB (визуально) — это и есть точка M.

Более простой и надежный метод, хотя и менее очевидный, состоит в следующем:

1. Построить окружность с центром в B, проходящую через A (назовем ее $\omega_B$).

2. Построить окружность с центром в A, проходящую через B (назовем ее $\omega_A$). Они пересекутся в точках P и Q.

3. Построить окружность с центром в P, проходящую через Q. Обозначим ее $\omega_P$.

4. Найти точки пересечения окружностей $\omega_P$ и $\omega_B$. Обозначим их R и S.

5. Построить окружность с центром в R, проходящую через A.

6. Построить окружность с центром в S, проходящую через A.

7. Эти две окружности пересекутся в точке A и в искомой точке M — середине отрезка AB.

Пояснение к SVG диаграмме для второго метода:На диаграмме показаны точки A и B.1. Построены окружности $\omega_A$ (сплошная серая, центр A) и $\omega_B$ (сплошная серая, центр B). Они пересекаются в точках P и Q.2. Построена окружность $\omega_P$ (пунктирная серая, центр P, радиус PQ).3. Найдены точки пересечения R и S окружностей $\omega_P$ и $\omega_B$.4. Построены финальные окружности $\omega_R$ (синяя, центр R, радиус RA) и $\omega_S$ (синяя, центр S, радиус SA).5. Их второе пересечение (помимо A) есть искомая точка M, выделенная красным.(Примечание: на рисунке для наглядности точка S найдена как пересечение $\omega_P$ и $\omega_A$, что приводит к тому же результату из-за симметрии).

Ответ: Середина отрезка AB построена в виде точки M.

б) Найти центр данной окружности $\omega$

Эта задача известна как "задача Наполеона".

Построение:

1. Выберем на данной окружности $\omega$ произвольную точку P.

2. Проведем из точки P окружность $\omega_1$ произвольного радиуса $r$, которая пересечет окружность $\omega$ в двух точках, A и B.

3. Из точек A и B проведем окружности $\omega_2$ и $\omega_3$ радиусом $r$ (тем же, что и у $\omega_1$). Эти окружности пересекутся в точке P и еще одной точке, которую назовем C.

4. Измерим циркулем расстояние PC и проведем окружность $\omega_4$ с центром в P и радиусом PC.

5. Проведем окружность $\omega_5$ с центром в C и радиусом CA (который равен $r$). Эта окружность пересечет окружность $\omega_4$ в двух точках M и N.

6. Проведем окружности $\omega_6$ и $\omega_7$ с центрами в точках M и N и радиусом, равным MP (или NP, они равны). Точки пересечения этих двух окружностей — это точка P и искомый центр O окружности $\omega$.

Ответ: Центр окружности построен в виде точки O.