Номер 2.12, страница 76 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.12. Докажите, что прямые, на которых лежат диагонали ромба, являются его осями симметрии.

Осью симметрии фигуры называется прямая, при отражении относительно которой фигура переходит сама в себя. Чтобы доказать, что прямые, на которых лежат диагонали ромба, являются его осями симметрии, необходимо показать, что при отражении ромба относительно прямой, содержащей любую из его диагоналей, ромб отображается сам на себя.

Рассмотрим ромб $ABCD$ с диагоналями $AC$ и $BD$.

Доказательство для диагонали AC

Рассмотрим прямую, содержащую диагональ $AC$. Она разбивает ромб на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$.
По определению ромба все его стороны равны, следовательно:
1. $AB = AD$
2. $BC = DC$
3. Сторона $AC$ является общей для обоих треугольников.
Таким образом, $\triangle ABC \cong \triangle ADC$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).
Из равенства треугольников следует, что они симметричны относительно их общей стороны $AC$. При отражении относительно прямой $AC$ вершина $B$ переходит в вершину $D$, а вершины $A$ и $C$ (лежащие на оси) остаются на месте. Значит, ромб $ABCD$ отображается сам на себя.
Следовательно, прямая, содержащая диагональ $AC$, является осью симметрии ромба.

Доказательство для диагонали BD

Рассмотрим прямую, содержащую диагональ $BD$. Она разбивает ромб на два треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$.
По определению ромба:
1. $AB = CB$
2. $AD = CD$
3. Сторона $BD$ является общей для обоих треугольников.
Таким образом, $\triangle ABD \cong \triangle CBD$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).
Из равенства треугольников следует, что они симметричны относительно их общей стороны $BD$. При отражении относительно прямой $BD$ вершина $A$ переходит в вершину $C$, а вершины $B$ и $D$ остаются на месте. Значит, ромб $ABCD$ отображается сам на себя.
Следовательно, прямая, содержащая диагональ $BD$, является осью симметрии ромба.

Мы доказали, что обе прямые, на которых лежат диагонали ромба, являются его осями симметрии.

Ответ: Утверждение доказано. Каждая диагональ ромба делит его на два равных треугольника. Эти треугольники являются зеркальным отражением друг друга относительно прямой, содержащей эту диагональ. Поэтому при отражении относительно любой из диагоналей ромб переходит сам в себя, что по определению означает, что прямые, содержащие диагонали, являются его осями симметрии.