Номер 2.13, страница 76 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.13. Докажите, что точка пересечения диагоналей параллелограмма является его центром симметрии.

Для доказательства того, что точка пересечения диагоналей параллелограмма является его центром симметрии, необходимо показать, что для любой точки, принадлежащей параллелограмму, симметричная ей точка относительно центра также принадлежит этому параллелограмму.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Центром симметрии фигуры называется такая точка, относительно которой фигура симметрична самой себе.

Доказательство проведем в два этапа.

1. Симметрия вершин.

По основному свойству параллелограмма, его диагонали в точке пересечения делятся пополам. Это означает, что точка $O$ является серединой как отрезка $AC$, так и отрезка $BD$.

Из этого следует, что $AO = OC$ и $BO = OD$.

По определению центральной симметрии, это означает, что вершина $A$ симметрична вершине $C$ относительно точки $O$, а вершина $B$ симметрична вершине $D$ относительно точки $O$.

2. Симметрия произвольной точки.

Теперь докажем, что для любой точки $M$, лежащей на стороне параллелограмма, симметричная ей точка $M'$ относительно центра $O$ также лежит на стороне параллелограмма.

Возьмем произвольную точку $M$ на стороне $AB$. Построим точку $M'$, симметричную точке $M$ относительно точки $O$. Это означает, что точка $O$ является серединой отрезка $MM'$, то есть $MO = OM'$, и точки $M$, $O$, $M'$ лежат на одной прямой.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOM$ и $\triangle COM'$.

В этих треугольниках:

• $AO = CO$ (по свойству диагоналей параллелограмма).
• $MO = M'O$ (по построению точки $M'$).
• $\angle AOM = \angle COM'$ (как вертикальные углы).

Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle AOM \cong \triangle COM'$.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов и сторон: $AM = CM'$ и $\angle MAO = \angle M'CO$.

Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны: $AB \parallel CD$. Прямая $AC$ является секущей для этих параллельных прямых. Следовательно, накрест лежащие углы $\angle BAC$ и $\angle DCA$ равны.

Так как $\angle MAO$ — это то же самое, что и $\angle BAC$, а мы доказали, что $\angle MAO = \angle M'CO$, то получаем $\angle M'CO = \angle DCA$. Это равенство углов означает, что луч $CM'$ совпадает с лучом $CD$, то есть точка $M'$ лежит на прямой, содержащей сторону $CD$.

Кроме того, из равенства треугольников мы получили $AM = CM'$. Так как точка $M$ находится на отрезке $AB$, то ее расстояние $AM$ от точки $A$ не превышает длины стороны $AB$: $0 \le AM \le AB$. Поскольку противоположные стороны параллелограмма равны ($AB = CD$), то и $0 \le CM' \le CD$. Это означает, что точка $M'$ лежит именно на отрезке $CD$.

Таким образом, для любой точки $M$ на стороне $AB$, симметричная ей точка $M'$ относительно $O$ лежит на противоположной стороне $CD$. Аналогично доказывается, что для любой точки на стороне $BC$ симметричная ей точка будет лежать на стороне $DA$.

Этот же принцип распространяется и на внутренние точки параллелограмма. Следовательно, весь параллелограмм симметричен сам себе относительно точки пересечения диагоналей.

Ответ: Что и требовалось доказать.