Номер 2.7, страница 75 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.7. Может ли трапеция иметь ось симметрии (две боковые стороны не параллельны), центр симметрии?

Ось симметрии

Да, трапеция может иметь ось симметрии. Такая трапеция называется равнобокой (или равнобедренной). У равнобокой трапеции боковые стороны равны, а также равны углы при каждом из оснований.

Осью симметрии равнобокой трапеции является прямая, проходящая через середины ее оснований. Эта прямая перпендикулярна основаниям. При симметрии относительно этой оси вершины трапеции, не лежащие на оси, меняются местами попарно ($A \leftrightarrow D$, $B \leftrightarrow C$), боковые стороны отображаются друг на друга, а основания — сами на себя.

На рисунке изображена равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Прямая $l$ — ее ось симметрии.

Ответ: Да, может.

Центр симметрии

Трапеция, у которой боковые стороны не параллельны, не может иметь центр симметрии. Фигура имеет центр симметрии, если она переходит в себя при повороте на $180^\circ$ вокруг этого центра.

Предположим, что трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD \parallel BC$) имеет центр симметрии $O$. При центральной симметрии (повороте на $180^\circ$) любая прямая переходит в параллельную ей прямую. Следовательно, прямая $AD$ должна перейти в прямую $BC$, так как это единственная другая сторона, параллельная $AD$. Аналогично, прямая, содержащая боковую сторону $AB$, должна перейти в прямую, параллельную ей. В трапеции единственной стороной, которая может быть параллельна $AB$, является сторона $CD$. Таким образом, для существования центра симметрии должно выполняться условие $AB \parallel CD$.

Если у четырехугольника противолежащие стороны попарно параллельны ($AD \parallel BC$ и $AB \parallel CD$), то этот четырехугольник является параллелограммом. Однако в условии задачи дается трапеция, у которой боковые стороны не параллельны, то есть фигура не является параллелограммом. Таким образом, возникает противоречие.

Следовательно, трапеция, не являющаяся параллелограммом, не может иметь центр симметрии.

Ответ: Нет, не может.