Номер 2.5, страница 75 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.5. Даны точка $A$ и прямая $l$. Постройте точку $A'$, симметричную точку $A$ относительно $l$. Рассмотрите два различных случая: $A \notin l$ и $A \in l$.

A ∉ l

По определению, точка $A'$ является симметричной точке $A$ относительно прямой $l$, если прямая $l$ — это серединный перпендикуляр к отрезку $AA'$. Это значит, что прямая $AA'$ перпендикулярна прямой $l$, а точка их пересечения является серединой отрезка $AA'$.

Для построения искомой точки $A'$ с помощью циркуля и линейки можно использовать следующий алгоритм. Сначала нужно выбрать на прямой $l$ две любые различные точки, назовем их $P$ и $Q$. Затем строим две окружности: первую с центром в точке $P$ и радиусом, равным длине отрезка $PA$, и вторую с центром в точке $Q$ и радиусом, равным длине отрезка $QA$. Эти две окружности пересекутся в двух точках: одна из них — это исходная точка $A$, а другая — искомая симметричная точка $A'$.

Данное построение является верным, так как по построению окружностей $PA = PA'$ и $QA = QA'$. Это означает, что точки $P$ и $Q$ равноудалены от концов отрезка $AA'$. Геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка, — это его серединный перпендикуляр. Следовательно, прямая, проходящая через точки $P$ и $Q$ (то есть прямая $l$), является серединным перпендикуляром к отрезку $AA'$, что соответствует определению осевой симметрии.

Ответ: Точка $A'$ строится как вторая точка пересечения двух окружностей: одной с центром в произвольной точке $P \in l$ и радиусом $PA$, и другой с центром в произвольной точке $Q \in l$ ($Q \ne P$) и радиусом $QA$.

A ∈ l

Если точка $A$ лежит на прямой $l$, то по определению симметрии, симметричная ей точка $A'$ также должна лежать на прямой $l$ (так как расстояние от точки до прямой равно нулю). Кроме того, прямая $l$ должна быть серединным перпендикуляром к отрезку $AA'$. Поскольку точки $A$ и $A'$ обе лежат на $l$, отрезок $AA'$ также лежит на прямой $l$. Прямая может быть перпендикулярна сама себе только в том случае, если рассматриваемый отрезок $AA'$ имеет нулевую длину, то есть вырождается в точку. Это означает, что точки $A$ и $A'$ совпадают.

Ответ: Если точка $A$ принадлежит прямой $l$, то симметричная ей точка $A'$ совпадает с точкой $A$.