Номер 2.11, страница 76 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.11. Даны точки $A$, $B$ и $C$, симметричные относительно некоторой оси. Постройте точку $C'$, симметричную точку $C$ относительно этой оси.

По условию, множество из трех точек $\{A, B, C\}$ симметрично относительно некоторой оси $l$. Это означает, что отражение всего множества относительно оси $l$ оставляет его неизменным. Точка $C'$ является образом точки $C$ при таком отражении: $C' = S_l(C)$.

Свойство симметрии накладывает строгие ограничения на взаимное расположение точек A, B и C. Они должны образовывать равнобедренный треугольник (возможно, вырожденный, когда все три точки лежат на одной прямой). Ось симметрии $l$ в этом случае является серединным перпендикуляром к основанию треугольника и проходит через противолежащую вершину.

Для того чтобы построить точку $C'$, нам нужно определить, какая из точек (A, B или C) является вершиной равнобедренного треугольника, а какие две образуют его основание. Это можно сделать, сравнив длины отрезков $AB$, $BC$ и $CA$. Построение сводится к сравнению этих длин и выбору соответствующей точки.

Рассмотрим возможные случаи, которые определяются соотношением длин сторон треугольника ABC.

Случай 1: $AC = BC$
В этом случае треугольник ABC равнобедренный с вершиной C. Ось симметрии $l$ проходит через точку C (как серединный перпендикуляр к основанию AB). Так как точка C лежит на оси симметрии, она отображается сама в себя.
Ответ: Точка $C'$ совпадает с точкой $C$.

Случай 2: $BC = BA$
В этом случае треугольник ABC равнобедренный с вершиной B. Ось симметрии $l$ проходит через точку B и является серединным перпендикуляром к основанию AC. Точки A и C симметричны относительно этой оси. Следовательно, отражение точки C есть точка A.
Ответ: Точка $C'$ совпадает с точкой $A$.

Случай 3: $CA = AB$
В этом случае треугольник ABC равнобедренный с вершиной A. Ось симметрии $l$ проходит через точку A и является серединным перпендикуляром к основанию BC. Точки B и C симметричны относительно этой оси. Следовательно, отражение точки C есть точка B.
Ответ: Точка $C'$ совпадает с точкой $B$.

На рисунке ниже показан пример для Случая 2, где $BC = BA$, и в результате построения мы получаем $C' = A$.

Примечание: Если треугольник ABC равносторонний ($AB = BC = CA$), то у него три оси симметрии. В зависимости от того, какая из них выбрана, точка $C'$ может совпадать с A, B или C. Аналогично, если точки лежат на одной прямой, решение зависит от того, является ли одна из точек серединой отрезка, образованного двумя другими. Приведенный выше метод охватывает все однозначные случаи.