Номер 2.6, страница 75 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.6. Даны точки $A$, $B$ и $C$. Постройте точку $C'$, симметричную точку $C$ относительно середины отрезка $AB$.

Для построения точки $C'$, симметричной точке $C$ относительно середины отрезка $AB$, необходимо выполнить следующие шаги. По определению, точка $C'$ будет симметрична $C$ относительно некоторой точки $M$, если $M$ является серединой отрезка $CC'$. В нашей задаче роль точки $M$ выполняет середина отрезка $AB$.

Пошаговое построение

1. Нахождение середины отрезка $AB$.
Обозначим середину отрезка $AB$ буквой $M$. Чтобы найти эту точку с помощью циркуля и линейки, нужно:

• Провести из точки $A$ дугу окружности радиусом $R$, который заведомо больше половины длины отрезка $AB$.
• Провести из точки $B$ дугу окружности тем же радиусом $R$.
• Две дуги пересекутся в двух точках. Соединив эти две точки прямой линией, мы получим серединный перпендикуляр к отрезку $AB$.
• Точка пересечения этого перпендикуляра с отрезком $AB$ и есть его середина $M$.

2. Построение точки $C'$.
Теперь, когда центр симметрии $M$ найден, строим точку $C'$:

• Проводим прямую через точки $C$ и $M$.
• Циркулем измеряем расстояние от $C$ до $M$.
• Откладываем такое же расстояние на прямой от точки $M$ в противоположную от $C$ сторону.
• Полученная точка является искомой точкой $C'$. По построению, точка $M$ является серединой отрезка $CC'$, так как $CM = MC'$ и все три точки лежат на одной прямой.

Наглядное изображение построения представлено ниже. Точка $M$ - середина $AB$. Точка $C'$ построена так, что $M$ также является серединой $CC'$.

Геометрическая интерпретация

Можно заметить, что диагонали четырехугольника $ACBC'$ (отрезки $AB$ и $CC'$) пересекаются в точке $M$, которая является серединой каждой из них. Четырехугольник, диагонали которого точкой пересечения делятся пополам, является параллелограммом. Таким образом, построенная точка $C'$ является четвертой вершиной параллелограмма $ACBC'$. Это свойство дает альтернативный способ построения, основанный на построении векторов: $\vec{AC'} = \vec{CB}$ или $\vec{BC'} = \vec{AC}$.

Ответ:
Искомая точка $C'$ строится в два этапа: сначала находится середина $M$ отрезка $AB$, а затем строится точка $C'$, для которой $M$ является серединой отрезка $CC'$. Геометрически точка $C'$ является вершиной параллелограмма $ACBC'$.