Страница 75 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА

1. Определите центр симметрии:
а) параллелограмма;
б) прямоугольника;
в) ромба;
г) квадрата;
д) окружности;
е) отрезка.

2. Определите оси симметрии фигур в задании 1. Сколько осей симметрии они имеют?

3. Возьмите некоторую фигуру, постройте фигуру, симметричную ей относительно заданного центра симметрии.

4. Выполните задание 3 относительно определенной оси симметрии.

1. Определим центры симметрии для заданных фигур. Центр симметрии — это такая точка, при повороте вокруг которой на 180° фигура переходит сама в себя.

а) параллелограмма
Центром симметрии параллелограмма является точка пересечения его диагоналей. Каждая точка параллелограмма имеет симметричную ей точку относительно центра, также принадлежащую параллелограмму.
Ответ: Точка пересечения диагоналей.

б) прямоугольника
Прямоугольник является частным случаем параллелограмма, поэтому его центром симметрии также является точка пересечения диагоналей.
Ответ: Точка пересечения диагоналей.

в) ромба
Ромб также является частным случаем параллелограмма, и его центром симметрии является точка пересечения его диагоналей.
Ответ: Точка пересечения диагоналей.

г) квадрата
Квадрат является одновременно и прямоугольником, и ромбом, поэтому его центром симметрии служит точка пересечения диагоналей.
Ответ: Точка пересечения диагоналей.

д) окружности
Центром симметрии окружности является ее геометрический центр. Любая точка на окружности имеет симметричную ей точку на этой же окружности относительно центра.
Ответ: Центр окружности.

е) отрезка
Центром симметрии отрезка является его середина. При повороте на 180° вокруг середины концы отрезка меняются местами, а сам отрезок совмещается с собой.
Ответ: Середина отрезка.

2. Определим оси симметрии для фигур из задания 1. Ось симметрии — это прямая, при отражении (перегибании) относительно которой фигура переходит сама в себя.

а) параллелограмма
В общем случае (если это не прямоугольник и не ромб) у параллелограмма нет осей симметрии.
Ответ: 0 осей симметрии.

б) прямоугольника
Прямоугольник имеет две оси симметрии. Это прямые, проходящие через середины его противолежащих сторон.
Ответ: 2 оси симметрии.

в) ромба
Ромб имеет две оси симметрии. Это прямые, на которых лежат его диагонали.
Ответ: 2 оси симметрии.

г) квадрата
Квадрат имеет четыре оси симметрии: две из них проходят через середины противолежащих сторон, а две другие — по его диагоналям.
Ответ: 4 оси симметрии.

д) окружности
Окружность имеет бесконечное множество осей симметрии. Любая прямая, проходящая через ее центр (любой диаметр), является осью симметрии.
Ответ: Бесконечно много осей симметрии.

е) отрезка
Отрезок имеет две оси симметрии: первая — это прямая, содержащая сам отрезок, а вторая — это серединный перпендикуляр к отрезку.
Ответ: 2 оси симметрии.

3. Возьмем в качестве исходной фигуры произвольный треугольник ABC и построим фигуру, симметричную ему относительно заданного центра симметрии O.

Чтобы построить фигуру, симметричную треугольнику ABC относительно центра O, нужно для каждой вершины треугольника найти симметричную ей точку. Для этого соединяем каждую вершину (например, A) с центром O и продолжаем этот отрезок на такое же расстояние за точку O. Получаем точку A'. Повторяем эту процедуру для вершин B и C, получая точки B' и C'. Соединив точки A', B' и C', получаем треугольник A'B'C', симметричный исходному относительно центра O.

На рисунке синий треугольник ABC симметричен зелёному треугольнику A'B'C' относительно красной точки O.

Ответ: Построение выполнено с помощью нахождения точек, симметричных вершинам исходной фигуры относительно центра симметрии, и их последующего соединения.

4. Выполним задание 3, но теперь относительно определенной оси симметрии. Возьмем тот же треугольник ABC и построим фигуру, симметричную ему относительно прямой l.

Чтобы построить фигуру, симметричную треугольнику ABC относительно оси l, необходимо для каждой вершины треугольника найти симметричную ей точку. Для этого из каждой вершины (например, A) опускаем перпендикуляр на ось l и продолжаем его на такое же расстояние по другую сторону от оси. Получаем точку A'. Повторяем эту процедуру для вершин B и C, получая точки B' и C'. Соединив точки A', B' и C', получаем треугольник A'B'C', симметричный исходному относительно оси l.

2.1. Может ли треугольник иметь ось симметрии? Обоснуйте ответ.

Да, треугольник может иметь ось симметрии. Ось симметрии — это прямая, которая делит фигуру на две зеркально равные части. При отражении относительно этой прямой фигура совпадает сама с собой.

Таким свойством обладают равнобедренные и равносторонние треугольники.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$, у которого боковые стороны равны: $AB = AC$. Прямая, содержащая высоту $AH$, опущенную на основание $BC$, является его осью симметрии. Эта высота в равнобедренном треугольнике также является медианой (делит сторону $BC$ пополам в точке $H$) и биссектрисой (делит угол $A$ пополам). При симметричном отражении относительно прямой $AH$ вершина $A$ и точка $H$ остаются на месте, а вершины $B$ и $C$ меняются местами. Таким образом, сторона $AB$ отображается на сторону $AC$, а сторона $AC$ на $AB$. Весь треугольник $ABC$ отображается сам на себя.

Равносторонний треугольник (у которого все стороны равны) имеет целых три оси симметрии. Каждая из них проходит через одну из вершин и середину противоположной стороны.

А вот разносторонний треугольник, у которого все три стороны имеют разную длину, осей симметрии не имеет.

Ответ: Да, может. Равнобедренный треугольник имеет одну ось симметрии, а равносторонний треугольник — три.

2.2. Всякий ли треугольник может иметь ось симметрии?

Какие треугольники могут иметь ось симметрии ?

Всякий ли треугольник может иметь ось симметрии?

Нет, не всякий треугольник имеет ось симметрии. Ось симметрии — это прямая, при отражении (зеркальном отображении) относительно которой фигура переходит сама в себя. Чтобы у треугольника была ось симметрии, необходимо, чтобы при отражении относительно этой оси вершины треугольника переходили в вершины этого же треугольника.

Рассмотрим разносторонний треугольник, то есть треугольник, у которого все три стороны имеют разную длину. Такой треугольник не имеет осей симметрии. Если провести любую прямую через такой треугольник, то части, на которые эта прямая его разделит, не будут являться зеркальными отражениями друг друга.

На рисунке изображен разносторонний треугольник $\triangle ABC$. У него все стороны ($a, b, c$) и все углы разные. Такой треугольник не имеет осей симметрии.

Ответ: Нет, не всякий. Разносторонний треугольник (у которого все стороны разной длины) не имеет оси симметрии.

Какие треугольники могут иметь ось симметрии?

Ось симметрии имеют треугольники, у которых есть равные элементы (стороны или углы). Это равнобедренные и равносторонние треугольники.

1. Равнобедренный треугольник
Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми, а третья сторона — основанием. Равнобедренный треугольник имеет одну ось симметрии. Эта ось является прямой, содержащей высоту, проведенную к основанию. Эта же прямая содержит медиану и биссектрису, проведенные к основанию.

На рисунке показан равнобедренный треугольник $\triangle ABC$ с основанием $BC$, у которого $AB=AC$. Прямая $AH$ (где $H$ — середина $BC$) является его осью симметрии. При отражении относительно этой прямой вершина $B$ переходит в вершину $C$, вершина $C$ — в $B$, а вершина $A$ и точка $H$ остаются на месте. Таким образом, треугольник отображается сам на себя.

2. Равносторонний (правильный) треугольник
Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все три стороны равны. Он является частным случаем равнобедренного треугольника, поэтому у него есть оси симметрии. Так как у него равны все три стороны, он "равнобедренный" относительно любого из трех оснований. Равносторонний треугольник имеет три оси симметрии. Каждая ось симметрии проходит через одну из вершин и середину противоположной стороны. Каждая из этих осей является одновременно высотой, медианой и биссектрисой.

На рисунке изображен равносторонний треугольник $\triangle ABC$. У него три оси симметрии (показаны пунктиром), каждая из которых является высотой, проведенной из вершины к противоположной стороне.

Ответ: Ось симметрии имеют равнобедренные и равносторонние треугольники. Равнобедренный треугольник (не являющийся равносторонним) имеет одну ось симметрии, а равносторонний — три.

2.3. Даны точки $A$ и $B$. Постройте точку $A'$, симметричную точке $A$ относительно точки $B$.

Для построения точки $A'$, симметричной точке $A$ относительно точки $B$, необходимо воспользоваться определением центральной симметрии. Точка $A'$ называется симметричной точке $A$ относительно центра $B$, если точка $B$ является серединой отрезка $AA'$. Это означает, что точки $A$, $B$ и $A'$ должны лежать на одной прямой, а также должно выполняться равенство расстояний $AB = BA'$.

Построение выполняется с помощью циркуля и линейки в несколько шагов:

1. С помощью линейки проводим прямую через точки $A$ и $B$ и продлеваем ее за точку $B$.

2. С помощью циркуля измеряем расстояние между точками $A$ и $B$. Для этого устанавливаем ножку циркуля в точку $A$, а грифель — в точку $B$.

3. Не меняя полученный раствор циркуля, переносим ножку циркуля в точку $B$.

4. Проводим дугу так, чтобы она пересекла прямую, построенную на первом шаге, по другую сторону от точки $A$.

5. Точка пересечения дуги и прямой и есть искомая точка $A'$.

В результате данного построения точка $A'$ лежит на одной прямой с точками $A$ и $B$. Расстояние $BA'$ равно расстоянию $AB$, так как оно было отложено тем же раствором циркуля. Следовательно, $B$ является серединой отрезка $AA'$, и точка $A'$ действительно симметрична точке $A$ относительно точки $B$.

Ответ: Искомая точка $A'$ построена согласно описанному методу и изображена на рисунке.

2.4. Сколько центров симметрии имеет:

1) отрезок;

2) луч;

3) прямая;

4) угол?

Центральная симметрия (симметрия относительно точки) — это вид симметрии, при котором каждой точке $A$ фигуры $F$ ставится в соответствие точка $A'$, такая что точка $O$ (центр симметрии) является серединой отрезка $AA'$. При этом фигура $F$ отображается на саму себя.

1) отрезок

Отрезок имеет ровно один центр симметрии — свою середину. Пусть дан отрезок $AB$ и точка $M$ является его серединой. Тогда для любой точки $P$, принадлежащей отрезку $AB$, симметричная ей относительно $M$ точка $P'$ также будет лежать на отрезке $AB$. Например, конец отрезка $A$ симметричен концу $B$ относительно точки $M$. Если выбрать любую другую точку в качестве центра симметрии, то хотя бы один из концов отрезка отобразится в точку, не принадлежащую отрезку.

Ответ: 1.

2) луч

У луча нет центра симметрии. Луч имеет начальную точку и бесконечно продолжается в одном направлении. Если предположить, что у луча есть центр симметрии $C$, то для любой точки $P$ на луче симметричная ей точка $P'$ также должна принадлежать лучу. Однако, если взять в качестве центра симметрии начало луча $O$, то для любой точки $P$ на луче ($P \neq O$) симметричная ей точка $P'$ окажется вне луча. Если же выбрать любую другую точку $C$ (на луче или вне его), всегда можно найти такую точку на луче, симметричный образ которой будет лежать вне этого луча.

Ответ: 0.

3) прямая

Прямая имеет бесконечно много центров симметрии. Любая точка, лежащая на прямой, является её центром симметрии. Для любой точки $P$ на прямой и для любого выбранного на этой же прямой центра $C$ симметричная точка $P'$ всегда будет принадлежать этой же прямой, так как прямая бесконечна в обе стороны. Точки, не лежащие на прямой, не могут быть её центрами симметрии.

Ответ: бесконечно много.

4) угол

Под углом понимают геометрическую фигуру, состоящую из точки (вершины) и двух лучей (сторон), исходящих из этой точки. В общем случае у угла нет центра симметрии. Если рассмотреть вершину угла $O$ как возможный центр симметрии, то для точки $P$ на одной из его сторон симметричная точка $P'$ будет лежать на луче, дополнительном к этой стороне. Эта точка $P'$ будет принадлежать исходному углу только в одном частном случае — если угол развёрнутый ($180^\circ$), то есть является прямой. Развёрнутый угол (прямая) имеет бесконечно много центров симметрии. Однако для любого неразвёрнутого угла ($ \neq 180^\circ $) ни его вершина, ни любая другая точка не является центром симметрии.

Ответ: 0 (если угол не является развёрнутым).

2.5. Даны точка $A$ и прямая $l$. Постройте точку $A'$, симметричную точку $A$ относительно $l$. Рассмотрите два различных случая: $A \notin l$ и $A \in l$.

A ∉ l

По определению, точка $A'$ является симметричной точке $A$ относительно прямой $l$, если прямая $l$ — это серединный перпендикуляр к отрезку $AA'$. Это значит, что прямая $AA'$ перпендикулярна прямой $l$, а точка их пересечения является серединой отрезка $AA'$.

Для построения искомой точки $A'$ с помощью циркуля и линейки можно использовать следующий алгоритм. Сначала нужно выбрать на прямой $l$ две любые различные точки, назовем их $P$ и $Q$. Затем строим две окружности: первую с центром в точке $P$ и радиусом, равным длине отрезка $PA$, и вторую с центром в точке $Q$ и радиусом, равным длине отрезка $QA$. Эти две окружности пересекутся в двух точках: одна из них — это исходная точка $A$, а другая — искомая симметричная точка $A'$.

Данное построение является верным, так как по построению окружностей $PA = PA'$ и $QA = QA'$. Это означает, что точки $P$ и $Q$ равноудалены от концов отрезка $AA'$. Геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка, — это его серединный перпендикуляр. Следовательно, прямая, проходящая через точки $P$ и $Q$ (то есть прямая $l$), является серединным перпендикуляром к отрезку $AA'$, что соответствует определению осевой симметрии.

Ответ: Точка $A'$ строится как вторая точка пересечения двух окружностей: одной с центром в произвольной точке $P \in l$ и радиусом $PA$, и другой с центром в произвольной точке $Q \in l$ ($Q \ne P$) и радиусом $QA$.

A ∈ l

Если точка $A$ лежит на прямой $l$, то по определению симметрии, симметричная ей точка $A'$ также должна лежать на прямой $l$ (так как расстояние от точки до прямой равно нулю). Кроме того, прямая $l$ должна быть серединным перпендикуляром к отрезку $AA'$. Поскольку точки $A$ и $A'$ обе лежат на $l$, отрезок $AA'$ также лежит на прямой $l$. Прямая может быть перпендикулярна сама себе только в том случае, если рассматриваемый отрезок $AA'$ имеет нулевую длину, то есть вырождается в точку. Это означает, что точки $A$ и $A'$ совпадают.

Ответ: Если точка $A$ принадлежит прямой $l$, то симметричная ей точка $A'$ совпадает с точкой $A$.

2.6. Даны точки $A$, $B$ и $C$. Постройте точку $C'$, симметричную точку $C$ относительно середины отрезка $AB$.

Для построения точки $C'$, симметричной точке $C$ относительно середины отрезка $AB$, необходимо выполнить следующие шаги. По определению, точка $C'$ будет симметрична $C$ относительно некоторой точки $M$, если $M$ является серединой отрезка $CC'$. В нашей задаче роль точки $M$ выполняет середина отрезка $AB$.

Пошаговое построение

1. Нахождение середины отрезка $AB$.
Обозначим середину отрезка $AB$ буквой $M$. Чтобы найти эту точку с помощью циркуля и линейки, нужно:

• Провести из точки $A$ дугу окружности радиусом $R$, который заведомо больше половины длины отрезка $AB$.
• Провести из точки $B$ дугу окружности тем же радиусом $R$.
• Две дуги пересекутся в двух точках. Соединив эти две точки прямой линией, мы получим серединный перпендикуляр к отрезку $AB$.
• Точка пересечения этого перпендикуляра с отрезком $AB$ и есть его середина $M$.

2. Построение точки $C'$.
Теперь, когда центр симметрии $M$ найден, строим точку $C'$:

• Проводим прямую через точки $C$ и $M$.
• Циркулем измеряем расстояние от $C$ до $M$.
• Откладываем такое же расстояние на прямой от точки $M$ в противоположную от $C$ сторону.
• Полученная точка является искомой точкой $C'$. По построению, точка $M$ является серединой отрезка $CC'$, так как $CM = MC'$ и все три точки лежат на одной прямой.

Наглядное изображение построения представлено ниже. Точка $M$ - середина $AB$. Точка $C'$ построена так, что $M$ также является серединой $CC'$.

Геометрическая интерпретация

Можно заметить, что диагонали четырехугольника $ACBC'$ (отрезки $AB$ и $CC'$) пересекаются в точке $M$, которая является серединой каждой из них. Четырехугольник, диагонали которого точкой пересечения делятся пополам, является параллелограммом. Таким образом, построенная точка $C'$ является четвертой вершиной параллелограмма $ACBC'$. Это свойство дает альтернативный способ построения, основанный на построении векторов: $\vec{AC'} = \vec{CB}$ или $\vec{BC'} = \vec{AC}$.

Ответ:
Искомая точка $C'$ строится в два этапа: сначала находится середина $M$ отрезка $AB$, а затем строится точка $C'$, для которой $M$ является серединой отрезка $CC'$. Геометрически точка $C'$ является вершиной параллелограмма $ACBC'$.

2.7. Может ли трапеция иметь ось симметрии (две боковые стороны не параллельны), центр симметрии?

Ось симметрии

Да, трапеция может иметь ось симметрии. Такая трапеция называется равнобокой (или равнобедренной). У равнобокой трапеции боковые стороны равны, а также равны углы при каждом из оснований.

Осью симметрии равнобокой трапеции является прямая, проходящая через середины ее оснований. Эта прямая перпендикулярна основаниям. При симметрии относительно этой оси вершины трапеции, не лежащие на оси, меняются местами попарно ($A \leftrightarrow D$, $B \leftrightarrow C$), боковые стороны отображаются друг на друга, а основания — сами на себя.

На рисунке изображена равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Прямая $l$ — ее ось симметрии.

Ответ: Да, может.

Центр симметрии

Трапеция, у которой боковые стороны не параллельны, не может иметь центр симметрии. Фигура имеет центр симметрии, если она переходит в себя при повороте на $180^\circ$ вокруг этого центра.

Предположим, что трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD \parallel BC$) имеет центр симметрии $O$. При центральной симметрии (повороте на $180^\circ$) любая прямая переходит в параллельную ей прямую. Следовательно, прямая $AD$ должна перейти в прямую $BC$, так как это единственная другая сторона, параллельная $AD$. Аналогично, прямая, содержащая боковую сторону $AB$, должна перейти в прямую, параллельную ей. В трапеции единственной стороной, которая может быть параллельна $AB$, является сторона $CD$. Таким образом, для существования центра симметрии должно выполняться условие $AB \parallel CD$.

Если у четырехугольника противолежащие стороны попарно параллельны ($AD \parallel BC$ и $AB \parallel CD$), то этот четырехугольник является параллелограммом. Однако в условии задачи дается трапеция, у которой боковые стороны не параллельны, то есть фигура не является параллелограммом. Таким образом, возникает противоречие.

Следовательно, трапеция, не являющаяся параллелограммом, не может иметь центр симметрии.

Ответ: Нет, не может.

2.8. Определите координаты точки, симметричной точке с координатами $(2; -3)$ относительно:

1) начала координат;

2) оси $Ox$;

3) оси $Oy$.

Пусть дана точка $A$ с координатами $(2; -3)$. Нам нужно найти координаты трех точек, симметричных точке $A$ относительно начала координат, оси $Ox$ и оси $Oy$. Для наглядности представим решение на координатной плоскости, где масштаб одной клетки равен 1.

1) начала координат

Точка $A_1(x_1; y_1)$, симметричная точке $A(x; y)$ относительно начала координат $O(0; 0)$, имеет координаты, противоположные по знаку координатам точки $A$. Это следует из того, что точка $O$ является серединой отрезка $AA_1$. Формулы для координат: $x_1 = -x$ и $y_1 = -y$.
Для нашей точки $A(2; -3)$ получаем:
$x_1 = -2$
$y_1 = -(-3) = 3$
Следовательно, координаты симметричной точки $A_1$ равны $(-2; 3)$.

Ответ: $(-2; 3)$

2) оси Ox

Точка $A_2(x_2; y_2)$, симметричная точке $A(x; y)$ относительно оси абсцисс ($Ox$), имеет ту же абсциссу, а ее ордината противоположна по знаку. Ось $Ox$ является перпендикулярным биссектором отрезка $AA_2$. Формулы для координат: $x_2 = x$ и $y_2 = -y$.
Для нашей точки $A(2; -3)$ получаем:
$x_2 = 2$
$y_2 = -(-3) = 3$
Следовательно, координаты симметричной точки $A_2$ равны $(2; 3)$.

Ответ: $(2; 3)$

3) оси Oy

Точка $A_3(x_3; y_3)$, симметричная точке $A(x; y)$ относительно оси ординат ($Oy$), имеет ту же ординату, а ее абсцисса противоположна по знаку. Ось $Oy$ является перпендикулярным биссектором отрезка $AA_3$. Формулы для координат: $x_3 = -x$ и $y_3 = y$.
Для нашей точки $A(2; -3)$ получаем:
$x_3 = -2$
$y_3 = -3$
Следовательно, координаты симметричной точки $A_3$ равны $(-2; -3)$.

Ответ: $(-2; -3)$